На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга A B равна 106 ° . Прямая BC касается окружности...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться свойством касательной, которое гласит, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен углу, образованному дугой окружности.

Поскольку угол, образованный дугой AB, равен 106°, то угол BAC (который равен углу между касательной BC и радиусом) также равен 106°. Так как угол ABC острый, то треугольник ABC является остроугольным.

Теперь найдем угол в треугольнике ABC, используя теорему косинусов: cos(ABC) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)

Учитывая, что AC = AB (так как это радиус окружности), и подставляя известные значения, получаем: cos(ABC) = (BC^2) / (2 * BC^2) = 1/2

Отсюда находим угол ABC: ABC = arccos(1/2) ≈ 60°

Итак, угол ABC равен примерно 60 градусов.

Угол ABC равен 53 градуса.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанных углов и свойствами касательных к окружности.

1. Углы, связанные с дугами:

   • Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги.
   • Так как угол ( \angle ABC ) опирается на дугу ( AC ), его величина будет равна половине разности между дугой ( AC ) и дугой ( AB ).

2. Вычисление дуги ( AC ):

   • Полный круг составляет ( 360^\circ ). Если дуга ( AB ) равна ( 106^\circ ), то дуга ( AC ) будет равна: [ 360^\circ - 106^\circ = 254^\circ ]

3. Свойства касательной:

   • Если прямая ( BC ) касается окружности в точке ( B ), то угол между касательной и хордой (в данном случае ( \angle ABC )) равен половине величины дуги, противоположной хордой. В данном случае это дуга ( AC ).

4. Вычисление угла ( \angle ABC ):

   • Угол ( \angle ABC ), как угол между касательной и хордой, равен половине дуги ( AC ): [ \angle ABC = \frac{1}{2} \times 254^\circ = 127^\circ ]

Однако, по условию задачи угол ( \angle ABC ) должен быть острым (меньше ( 90^\circ )). Значит, мы не можем использовать дугу ( AC ) как таковую, а должны учитывать направление угла относительно касательной. На самом деле угол между касательной и хордой можно также представить как половину разности между ( 360^\circ ) и дугой, на которую опирается угол с другой стороны (то есть дуга ( AB )).

• Таким образом, правильный расчет: [ \angle ABC = \frac{1}{2} \times (360^\circ - 254^\circ) = \frac{1}{2} \times 106^\circ = 53^\circ ]

Таким образом, угол ( \angle ABC ) равен ( 53^\circ ).