Моторная лодка прошла против течения реки 208 км и вернулась в пункт отправления , затратив на обратный...

Для решения этой задачи обозначим искомую скорость лодки в неподвижной воде как ( v ) (в км/ч). Скорость течения реки дана и равна ( 5 ) км/ч.

Шаг 1. Запишем скорости лодки по течению и против течения

1. При движении против течения итоговая скорость лодки будет уменьшена на скорость течения: [ v_{\text{против}} = v - 5 \, \text{(км/ч)}. ]

2. При движении по течению итоговая скорость лодки будет увеличена на скорость течения: [ v_{\text{по}} = v + 5 \, \text{(км/ч)}. ]

Шаг 2. Обозначим времена, затраченные на путь

• Время, затраченное на путь против течения, равно отношению расстояния к скорости: [ t_{\text{против}} = \frac{208}{v - 5}. ]

• Время, затраченное на путь по течению, равно: [ t_{\text{по}} = \frac{208}{v + 5}. ]

По условию задачи, время на путь по течению было на 5 часов меньше, чем на путь против течения: [ t{\text{против}} - t{\text{по}} = 5. ]

Шаг 3. Составим уравнение

Подставим выражения для ( t{\text{против}} ) и ( t{\text{по}} ): [ \frac{208}{v - 5} - \frac{208}{v + 5} = 5. ]

Шаг 4. Решим уравнение

1. Приведем дроби к общему знаменателю: [ \frac{208(v + 5) - 208(v - 5)}{(v - 5)(v + 5)} = 5. ]

2. Упростим числитель: [ 208(v + 5) - 208(v - 5) = 208v + 1040 - 208v + 1040 = 2080. ]

Теперь уравнение выглядит так: [ \frac{2080}{(v - 5)(v + 5)} = 5. ]

1. Умножим обе стороны уравнения на знаменатель ( (v - 5)(v + 5) ), чтобы избавиться от дроби: [ 2080 = 5(v^2 - 25). ]

2. Раскроем скобки и упростим: [ 2080 = 5v^2 - 125. ]

3. Перенесем все в одну часть уравнения: [ 5v^2 - 125 - 2080 = 0. ]

[ 5v^2 - 2205 = 0. ]

1. Разделим обе части уравнения на 5: [ v^2 - 441 = 0. ]

2. Разложим на множители: [ (v - 21)(v + 21) = 0. ]

Отсюда: [ v = 21 \quad \text{или} \quad v = -21. ]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем: [ v = 21 \, \text{км/ч}. ]

Шаг 5. Проверка

1. Скорость лодки в неподвижной воде: ( v = 21 \, \text{км/ч} ).
2. Скорость против течения: ( v - 5 = 16 \, \text{км/ч} ).
3. Скорость по течению: ( v + 5 = 26 \, \text{км/ч} ).
4. Время против течения: [ t_{\text{против}} = \frac{208}{16} = 13 \, \text{ч}. ]
5. Время по течению: [ t_{\text{по}} = \frac{208}{26} = 8 \, \text{ч}. ]
6. Разница во времени: [ t{\text{против}} - t{\text{по}} = 13 - 8 = 5 \, \text{ч}. ]

Всё сходится.

Ответ:

Скорость лодки в неподвижной воде равна ( 21 \, \text{км/ч} ).

Обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как ( v ) км/ч. Скорость лодки против течения составляет ( v - 5 ) км/ч, так как скорость течения реки равна 5 км/ч. Обратный путь, по течению, лодка движется со скоростью ( v + 5 ) км/ч.

1. Время на путь против течения: Для того чтобы найти время, затраченное на путь против течения, используем формулу: [ t_1 = \frac{S}{v - 5} ] где ( S = 208 ) км — расстояние.

   Подставляем значение: [ t_1 = \frac{208}{v - 5} ]

2. Время на путь по течению: Для обратного пути по течению время будет: [ t_2 = \frac{S}{v + 5} = \frac{208}{v + 5} ]

3. Согласно условию задачи: Время на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения: [ t_2 = t_1 - 5 ]

   Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ): [ \frac{208}{v + 5} = \frac{208}{v - 5} - 5 ]

4. Умножим обе стороны уравнения на ( (v - 5)(v + 5) ), чтобы избавиться от дробей: [ 208(v - 5) = 208(v + 5) - 5(v^2 - 25) ]

   Раскроем скобки: [ 208v - 1040 = 208v + 1040 - 5v^2 + 125 ]

5. Сократим ( 208v ) с обеих сторон: [ -1040 = 1040 - 5v^2 + 125 ]

   Упростим уравнение: [ -1040 = 1165 - 5v^2 ]

   Переносим все на одну сторону: [ 5v^2 - 1165 - 1040 = 0 ] [ 5v^2 - 2205 = 0 ]

6. Решим это уравнение: [ 5v^2 = 2205 ] [ v^2 = 441 ] [ v = \sqrt{441} = 21 ]

Таким образом, скорость моторной лодки в неподвижной воде равна 21 км/ч.