Log2$x-3$ + log2$x-2$ меньше или равно 1

Рассмотрим неравенство:

${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x-2)\le 1$

Шаг 1. Преобразование логарифмического выражения

Используем свойство логарифмов: ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(b\cdot c$). Тогда:

${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x-2)={\log }_2((x-3)(x-2)).$

Неравенство перепишется в виде:

${\log }_2((x-3)(x-2))\le 1.$

Шаг 2. Избавляемся от логарифма

Для этого воспользуемся определением логарифма: ${\log }_{a}b=c⟺b=a^c$. Так как основание логарифма $2>1$, функция ${\log }_2$ монотонно возрастает, поэтому неравенство сохраняет направление. Получаем:

$(x-3)(x-2)\le 2^1,$

то есть:

$(x-3)(x-2)\le 2.$

Шаг 3. Раскрытие скобок

Раскрываем скобки в левой части:

$(x-3)(x-2)=x^2-2x-3x+6=x^2-5x+6.$

Неравенство теперь выглядит так:

$x^2-5x+6\le 2.$

Приводим всё к стандартному виду квадратного неравенства:

$x^2-5x+4\le 0.$

Шаг 4. Решение квадратного неравенства

Решим квадратное уравнение $x^2-5x+4=0$, чтобы найти корни. Используем формулу корней квадратного уравнения:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$

где $a=1$, $b=-5$, $c=4$. Подставляем:

$x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4(1)(4)}}{2(1)}=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}.$

Находим два корня:

$x_1=\frac{5-3}{2}=1,x_2=\frac{5+3}{2}=4.$

Следовательно, квадратное неравенство $x^2-5x+4\le 0$ выполняется на отрезке:

$x\in [1,4$. ]

Шаг 5. Учёт области определения

Так как в исходном логарифмическом выражении присутствуют ${\log }_2(x-3$) и ${\log }_2(x-2$), необходимо учитывать область определения. Логарифм определён только для положительных аргументов. Это даёт следующие условия:

$x-3>0\text{и}x-2>0.$

Решая эти неравенства, получаем:

$x>3\text{и}x>2.$

Совместное выполнение этих условий даёт:

$x>3.$

Шаг 6. Пересечение с областью определения

С учётом области определения $x>3$ и интервала, на котором выполняется квадратное неравенство $x\in [1,4]$, находим пересечение:

$x\in (3,4$. ]

Ответ:

Решением неравенства является:

$x\in (3,4$. ]

Чтобы решить неравенство ${\log }_2(x-3$ + \log_2$x-2$ \leq 1 ), воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Сложение логарифмов: Используем свойство логарифмов, согласно которому сумма логарифмов равна логарифму произведения: ${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x-2)={\log }_2((x-3)(x-2))$ Таким образом, неравенство можно переписать как: ${\log }_2((x-3)(x-2))\le 1$

2. Преобразование неравенства: Теперь преобразуем неравенство в экспоненциальную форму: $(x-3)(x-2)\le 2^1$ Это дает нам: $(x-3)(x-2)\le 2$

3. Решение квадратного неравенства: Раскроем скобки: $x^2-5x+6\le 2$ Переносим 2 в левую часть: $x^2-5x+4\le 0$

4. Нахождение корней: Решим уравнение $x^2-5x+4=0$ с помощью дискриминанта: $D=b^2-4ac=(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$ Корни уравнения: $x_1=\frac{5+3}{2}=4,x_2=\frac{5-3}{2}=1$

5. Анализ знаков: Теперь у нас есть корни $x=1$ и $x=4$. Мы исследуем знак многочлена $x^2-5x+4$ на интервалах:

   • Для $x<1$ $например,(x=0$): $0^2-5\cdot 0+4=4>0$
   • Для $1<x<4$ $например,(x=2$): $2^2-5\cdot 2+4=4-10+4=-2<0$
   • Для $x>4$ $например,(x=5$): $5^2-5\cdot 5+4=25-25+4=4>0$

Таким образом, неравенство $x^2-5x+4\le 0$ выполняется для $x$ в интервале $[1,4]$.

1. Условия существования логарифмов: Поскольку в логарифмах должны быть положительные аргументы, необходимо учитывать, что: $x-3>0\Rightarrow x>3$ $x-2>0\Rightarrow x>2$

Таким образом, совместим условия $x>3$ с найденным интервалом $[1,4]$. Это ограничивает наш интервал до: $x\in [3,4$ ]

1. Ответ: В итоге, решением неравенства ${\log }_2(x-3$ + \log_2$x-2$ \leq 1 ) является: $x\in [3,4$ ]