Косинус альфа равен 4/5 ,найдите тангенс,катангенс и синус

Для нахождения тангенса, катангенса и синуса угла альфа, для которого косинус равен 4/5, можно воспользоваться формулами тригонометрии.

Известно, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Поэтому, если косинус альфа равен 4/5, то можно представить прямоугольный треугольник, в котором прилежащий катет равен 4, а гипотенуза равна 5. Тогда противолежащий катет можно найти с помощью теоремы Пифагора: √(5^2 - 4^2) = √(25 - 16) = √9 = 3.

Теперь можем найти тангенс угла альфа: tg(α) = противолежащий катет / прилежащий катет = 3 / 4.

Катангенс угла альфа: ctg(α) = прилежащий катет / противолежащий катет = 4 / 3.

Синус угла альфа найдем по теореме Пифагора: sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза = 3 / 5.

Итак, тангенс угла альфа равен 3/4, катангенс равен 4/3, а синус равен 3/5.

Для решения этой задачи используем определения и тригонометрические соотношения. Дано, что (\cos \alpha = \frac{4}{5}).

1. Найдем (\sin \alpha):

   Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] Подставляем значение косинуса: [ \sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 ] [ \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 ] [ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} ] [ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} ] Знак синуса зависит от того, в какой четверти находится угол (\alpha). Так как косинус положителен ((\frac{4}{5})), а синус мы нашли как положительное значение ((\frac{3}{5})), это означает, что угол (\alpha) находится в первой четверти, где оба значения синуса и косинуса положительны.

2. Найдем тангенс (\alpha) ((\tan \alpha)):

   Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} ]

3. Найдем котангенс (\alpha) ((\cot \alpha)):

   Котангенс – это обратное значение тангенса: [ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} ]

Итак, результаты:

• (\sin \alpha = \frac{3}{5})
• (\tan \alpha = \frac{3}{4})
• (\cot \alpha = \frac{4}{3})