Корень из 2x+5 - корень из x+6=1

Для решения данного уравнения с корнями необходимо применить метод извлечения корней и свойства равенства корней.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: (√(2x+5) - √(x+6))^2 = 1^2 2x + 5 - 2√((2x+5)(x+6)) + x + 6 = 1 3x + 11 - 2√(2x^2 + 17x + 30) = 1 3x + 10 = 2√(2x^2 + 17x + 30)

2. Возводим обе части уравнения в квадрат еще раз: (3x + 10)^2 = (2√(2x^2 + 17x + 30))^2 9x^2 + 60x + 100 = 4(2x^2 + 17x + 30) 9x^2 + 60x + 100 = 8x^2 + 68x + 120 -x^2 - 8x + 20 = 0

3. Решаем полученное квадратное уравнение: x^2 + 8x - 20 = 0 D = 8^2 - 41(-20) = 64 + 80 = 144 x1,2 = (-8 ± √144) / 2 = (-8 ± 12) / 2 x1 = 2, x2 = -10

Таким образом, корни данного уравнения равны x1 = 2 и x2 = -10.

x=3

Рассмотрим уравнение:

[ \sqrt{2x + 5} - \sqrt{x + 6} = 1 ]

Чтобы решить его, сначала выразим одно из корней. Добавим (\sqrt{x + 6}) к обеим сторонам уравнения:

[ \sqrt{2x + 5} = \sqrt{x + 6} + 1 ]

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

[ (\sqrt{2x + 5})^2 = (\sqrt{x + 6} + 1)^2 ]

Это уравнение примет вид:

[ 2x + 5 = (x + 6) + 2\sqrt{x + 6} + 1 ]

Оптимизируем это уравнение, упростив правую часть:

[ 2x + 5 = x + 7 + 2\sqrt{x + 6} ]

Переносим все выражения, кроме корня, в левую часть:

[ 2x + 5 - x - 7 = 2\sqrt{x + 6} ]

Упрощаем:

[ x - 2 = 2\sqrt{x + 6} ]

Теперь снова возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[ (x - 2)^2 = (2\sqrt{x + 6})^2 ]

Это даст:

[ x^2 - 4x + 4 = 4(x + 6) ]

Раскроем скобки и упростим:

[ x^2 - 4x + 4 = 4x + 24 ]

Переносим все в одну сторону:

[ x^2 - 4x + 4 - 4x - 24 = 0 ]

Упрощаем:

[ x^2 - 8x - 20 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 64 + 80 = 144 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{8 + 12}{2} = 10 ]

[ x_2 = \frac{8 - 12}{2} = -2 ]

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении, так как возведение в квадрат может приводить к появлению посторонних корней.

Для (x = 10):

[ \sqrt{2 \times 10 + 5} - \sqrt{10 + 6} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 ]

Это решение подходит.

Для (x = -2):

[ \sqrt{2 \times (-2) + 5} - \sqrt{-2 + 6} = \sqrt{1} - \sqrt{4} = 1 - 2 = -1 ]

Это решение не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является (x = 10).