Корень из 2x+5 - корень из x+6=1

Для решения данного уравнения с корнями необходимо применить метод извлечения корней и свойства равенства корней.

1. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: $\surd (2x+5$ - √$x+6$)^2 = 1^2 2x + 5 - 2√$(2x+5$$x+6$) + x + 6 = 1 3x + 11 - 2√$2x^2+17x+30$ = 1 3x + 10 = 2√$2x^2+17x+30$

2. Возводим обе части уравнения в квадрат еще раз: $3x+10$^2 = $2\surd (2x^2+17x+30$)^2 9x^2 + 60x + 100 = 4$2x^2+17x+30$ 9x^2 + 60x + 100 = 8x^2 + 68x + 120 -x^2 - 8x + 20 = 0

3. Решаем полученное квадратное уравнение: x^2 + 8x - 20 = 0 D = 8^2 - 41$-20$ = 64 + 80 = 144 x1,2 = $-8\pm \surd 144$ / 2 = $-8\pm 12$ / 2 x1 = 2, x2 = -10

Таким образом, корни данного уравнения равны x1 = 2 и x2 = -10.

x=3

Рассмотрим уравнение:

$\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+6}=1$

Чтобы решить его, сначала выразим одно из корней. Добавим $\sqrt{x+6}$ к обеим сторонам уравнения:

$\sqrt{2x+5}=\sqrt{x+6}+1$

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{2x+5}{)}^2=(\sqrt{x+6}+1{)}^2$

Это уравнение примет вид:

$2x+5=(x+6)+2\sqrt{x+6}+1$

Оптимизируем это уравнение, упростив правую часть:

$2x+5=x+7+2\sqrt{x+6}$

Переносим все выражения, кроме корня, в левую часть:

$2x+5-x-7=2\sqrt{x+6}$

Упрощаем:

$x-2=2\sqrt{x+6}$

Теперь снова возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$(x-2{)}^2=(2\sqrt{x+6}{)}^2$

Это даст:

$x^2-4x+4=4(x+6)$

Раскроем скобки и упростим:

$x^2-4x+4=4x+24$

Переносим все в одну сторону:

$x^2-4x+4-4x-24=0$

Упрощаем:

$x^2-8x-20=0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ равен:

$D=b^2-4ac=(-8{)}^2-4\times 1\times (-20)=64+80=144$

Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения:

$x_{1,2}=\frac{8\pm 12}{2}$

Получаем два корня:

$x_1=\frac{8+12}{2}=10$

$x_2=\frac{8-12}{2}=-2$

Теперь проверим оба корня в исходном уравнении, так как возведение в квадрат может приводить к появлению посторонних корней.

Для $x=10$:

$\sqrt{2\times 10+5}-\sqrt{10+6}=\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$

Это решение подходит.

Для $x=-2$:

$\sqrt{2\times (-2)+5}-\sqrt{-2+6}=\sqrt{1}-\sqrt{4}=1-2=-1$

Это решение не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=10$.