Комплексные числа выполните действие 1/1-i

Чтобы выполнить действие с комплексным числом $\frac{1}{1-i}$, необходимо избавиться от мнимой части в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю. Сопряженное число для $1-i$ — это $1+i$.

Пошагово это выглядит следующим образом:

1. Запишем исходное выражение: $\frac{1}{1-i}$

2. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к $1-i$: $\frac{1\cdot (1+i)}{(1-i)\cdot (1+i)}$

3. Упростим выражения в числителе и знаменателе: $\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}$

4. Воспользуемся формулой для произведения комплексных чисел, $(a-b$$a+b$ = a^2 - b^2 ), где $a=1$ и $b=i$: $(1-i)(1+i)=1^2-i^2$

5. Учтем, что $i^2=-1$: $1^2-i^2=1-(-1)=1+1=2$

6. Подставим полученное значение в знаменатель: $\frac{1+i}{2}$

7. Разделим числитель на знаменатель: $\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$

Таким образом, результат выполнения действия с комплексным числом $\frac{1}{1-i}$ равен: $\frac{1}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$

Или в виде одного комплексного числа: $\frac{1}{1-i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$

1/1-i = $1/1-i$ * $1+i/i+i$ = $1+i$/$1^2-i^2$ = $1+i$/$1+1$ = $1+i$/2 = 1/2 + 1/2i

Для выполнения данного действия, необходимо привести дробь к виду, удобному для работы с комплексными числами. Для этого умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число к исходному дробному числу.

1/$1-i$ * $1+i$/$1+i$ = $1+i$/$1+i-i^2$ = $1+i$/$1+1$ = $1+i$/2 = 0.5 + 0.5i

Таким образом, результатом выполнения действия над комплексным числом 1/$1-i$ будет комплексное число 0.5 + 0.5i.