Какие из следующих утверждений верны? 1. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны....

Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и проведем анализ их истинности.

1. Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

   Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (по 90 градусов), а противоположные стороны попарно равны и параллельны. Диагонали прямоугольника равны по длине и пересекаются в одной точке, деля друг друга пополам. Однако в прямоугольнике диагонали не перпендикулярны. Таким образом, утверждение, что существует прямоугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями, неверно.

2. Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.

   Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то все углы этого ромба равны 90 градусам, потому что противоположные углы в параллелограмме равны, а сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусам. Если все углы равны 90 градусам и все стороны равны, то этот ромб является квадратом. Итак, это утверждение верно.

3. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

   В треугольнике сумма углов всегда равна 180 градусам. Тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов больше 90 градусов (тупой угол). Однако если бы все углы были тупыми, их сумма превысила бы 180 градусов, что невозможно. Следовательно, в тупоугольном треугольнике только один угол тупой, а два других угла острые (меньше 90 градусов). Это утверждение неверно.

Итак, правильность утверждений можно подытожить следующим образом:

1. Неверно.
2. Верно.
3. Неверно.

1. Утверждение верно. Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, называется квадратом. Каждый квадрат также является прямоугольником.

2. Утверждение неверно. Хотя квадрат является частным случаем ромба, не каждый ромб с углом в 90 градусов является квадратом. Например, ромб со сторонами 5, 5, 5 и 10 не является квадратом, но имеет угол в 90 градусов.

3. Утверждение верно. В тупоугольном треугольнике все углы больше 90 градусов, поэтому все углы в нем тупые.