Известно что cos t =9/41,3п/2 < t < 2п Вычислите sin t, tg t, ctg t

Давайте решим данную задачу по шагам.

Дано:

[ \cos t = \frac{9}{41} ] [ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi ]

Определение квадранта:

Указанный интервал (\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi) соответствует четвертой четверти тригонометрической окружности. В четвертой четверти косинус положителен, а синус отрицателен.

Вычисление синуса:

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 ]

Подставим известное значение косинуса: [ \sin^2 t + \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 ]

Вычислим (\left(\frac{9}{41}\right)^2): [ \frac{9^2}{41^2} = \frac{81}{1681} ]

Теперь решим уравнение: [ \sin^2 t = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681}{1681} - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681} ]

Следовательно, (\sin t) может быть как положительным, так и отрицательным, но, так как мы находимся в четвертой четверти, где синус отрицателен, то: [ \sin t = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41} ]

Вычисление тангенса:

[ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} ]

Вычисление котангенса:

[ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\frac{9}{41}}{-\frac{40}{41}} = -\frac{9}{40} ]

Ответ:

[ \sin t = -\frac{40}{41} ] [ \tan t = -\frac{40}{9} ] [ \cot t = -\frac{9}{40} ]

Для начала, найдем синус t, используя основное тригонометрическое тождество sin^2 t + cos^2 t = 1. Поскольку cos t = 9/41, мы можем выразить sin t как sin t = √(1 - cos^2 t) = √(1 - (9/41)^2) = √(1 - 81/1681) = √(1600/1681) = 40/41.

Затем найдем тангенс t, используя определение tg t = sin t / cos t. Подставив значения sin t и cos t, получим tg t = (40/41) / (9/41) = 40/9.

Наконец, найдем котангенс t, который равен обратному значению тангенса: ctg t = 1 / tg t = 1 / (40/9) = 9/40.

Итак, sin t = 40/41, tg t = 40/9, ctg t = 9/40.