Известно что cos t =9/41,3п/2 < t < 2п Вычислите sin t, tg t, ctg t

Давайте решим данную задачу по шагам.

Дано:

$\cos t=\frac{9}{41}$ $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$

Определение квадранта:

Указанный интервал $\frac{3\pi }{2}<t<2\pi$ соответствует четвертой четверти тригонометрической окружности. В четвертой четверти косинус положителен, а синус отрицателен.

Вычисление синуса:

Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$

Подставим известное значение косинуса: ${\sin }^{2}t+{\left(\frac{9}{41}\right)}^2=1$

Вычислим $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$^2): $\frac{9^2}{{41}^2}=\frac{81}{1681}$

Теперь решим уравнение: ${\sin }^{2}t=1-\frac{81}{1681}=\frac{1681}{1681}-\frac{81}{1681}=\frac{1600}{1681}$

Следовательно, $\sin t$ может быть как положительным, так и отрицательным, но, так как мы находимся в четвертой четверти, где синус отрицателен, то: $\sin t=-\sqrt{\frac{1600}{1681}}=-\frac{40}{41}$

Вычисление тангенса:

$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-\frac{40}{41}}{\frac{9}{41}}=-\frac{40}{9}$

Вычисление котангенса:

$\cot t=\frac{\cos t}{\sin t}=\frac{\frac{9}{41}}{-\frac{40}{41}}=-\frac{9}{40}$

Ответ:

$\sin t=-\frac{40}{41}$ $\tan t=-\frac{40}{9}$ $\cot t=-\frac{9}{40}$

Для начала, найдем синус t, используя основное тригонометрическое тождество sin^2 t + cos^2 t = 1. Поскольку cos t = 9/41, мы можем выразить sin t как sin t = √$1-co{s}^{2}t$ = √$1-(9/41$^2) = √$1-81/1681$ = √$1600/1681$ = 40/41.

Затем найдем тангенс t, используя определение tg t = sin t / cos t. Подставив значения sin t и cos t, получим tg t = $40/41$ / $9/41$ = 40/9.

Наконец, найдем котангенс t, который равен обратному значению тангенса: ctg t = 1 / tg t = 1 / $40/9$ = 9/40.

Итак, sin t = 40/41, tg t = 40/9, ctg t = 9/40.