Избавтесь от иррациональности в знаменателе выражения 2√5 дробь √5 -√3

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, воспользуемся методом умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение знаменателя $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ — это $\sqrt{5}+\sqrt{3}$. Умножение на сопряженное помогает преобразовать знаменатель в разность квадратов, что устраняет корни в знаменателе.

Итак, начнем с выражения:

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

Шаг 1. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+\sqrt{3}$:

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Это не изменяет значение дроби, так как мы умножаем на единицу.

Шаг 2. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=5-3=2$

Теперь знаменатель стал равен 2.

Шаг 3. Упростим числитель:

Числитель становится: $2\sqrt{5}\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$

Упростим каждое слагаемое: $2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=2\cdot 5=10$ $2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{15}$

Таким образом, числитель равен: $10+2\sqrt{15}$

Шаг 4. Соберем выражение:

Теперь дробь выглядит так: $\frac{10+2\sqrt{15}}{2}$

Шаг 5. Упростим дробь:

Разделим каждое слагаемое числителя на 2: $\frac{10}{2}+\frac{2\sqrt{15}}{2}=5+\sqrt{15}$

Итог:

После устранения иррациональности в знаменателе, выражение принимает вид: $5+\sqrt{15}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя $\sqrt{5}+\sqrt{3}$:

$\frac{2\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

В знаменателе получится разность квадратов:

$(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=5-3=2$

В числителе:

$2\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2(5+\sqrt{15})=10+2\sqrt{15}$

Таким образом, окончательный результат:

$\frac{10+2\sqrt{15}}{2}=5+\sqrt{15}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$, мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ — это $\sqrt{5}+\sqrt{3}$.

Таким образом, мы умножим дробь на $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$:

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

Теперь вычислим знаменатель:

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})=(\sqrt{5}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=5-3=2$

Теперь вычислим числитель:

$2\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})=2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}+2\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=2\cdot 5+2\sqrt{15}=10+2\sqrt{15}$

Теперь подставим результаты обратно в дробь:

$\frac{10+2\sqrt{15}}{2}$

Разделим каждый элемент числителя на 2:

$5+\sqrt{15}$

Таким образом, окончательный ответ без иррациональности в знаменателе будет:

$5+\sqrt{15}$