Из вершины прямого угла А прямоугольного треугольника к гипотенузе проведены медиана АМ и высота АК....

Ответ: Длина отрезка МК равна 3.

Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2, где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Таким образом, c = sqrt((6^2) + ((3*sqrt(5))^2)) = sqrt(36 + 45) = sqrt(81) = 9.

Теперь найдем длину медианы АМ. Медиана делит гипотенузу пополам, поэтому длина АМ равна половине гипотенузы, то есть 9/2 = 4.5.

Далее найдем длину высоты АК. Высота прямоугольного треугольника проведена из вершины прямого угла, поэтому она равна одному из катетов, то есть 6.

Наконец, найдем длину отрезка МК. Треугольник АМК - прямоугольный, поэтому применим теорему Пифагора:

(MK)^2 = (AM)^2 - (AK)^2, (MK)^2 = 4.5^2 - 6^2, (MK)^2 = 20.25 - 36, (MK)^2 = -15.75.

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то ошибка где-то в расчетах. Пожалуйста, проверьте исходные данные и пересчитайте длину отрезка МК.

Давайте решим задачу, используя свойства прямоугольного треугольника и его элементов.

У нас есть прямоугольный треугольник с вершиной ( A ) в прямом угле. Катеты треугольника равны ( 6 ) и ( 3\sqrt{5} ).

1. Найдем длину гипотенузы ( BC ):

   По теореме Пифагора, длина гипотенузы ( c ) вычисляется как: [ c = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{36 + 45} = \sqrt{81} = 9. ]

2. Найдем длину медианы ( AM ):

   В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно: [ AM = \frac{9}{2} = 4.5. ]

3. Найдем длину высоты ( AK ):

   Высота ( AK ) из вершины прямого угла на гипотенузу может быть найдена через площадь треугольника двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту.

   Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}. ]

   Площадь также равна: [ S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot AK. ]

   Приравняем площади и найдем ( AK ): [ 9\sqrt{5} = \frac{9}{2} \cdot AK \implies AK = 2\sqrt{5}. ]

4. Найдем длину отрезка ( MK ):

   Теперь, чтобы найти ( MK ), воспользуемся свойством, что точка пересечения медианы и высоты делит их на два отрезка, которые перпендикулярны друг другу. Мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ( AMK ):

   [ (MK)^2 = (AM)^2 + (AK)^2 ]

   Подставим найденные значения: [ (MK)^2 = (4.5)^2 + (2\sqrt{5})^2 = 20.25 + 20 = 40.25 ]

   Следовательно, длина отрезка ( MK ) равна: [ MK = \sqrt{40.25} = 6.35 \text{ (округленно до двух знаков после запятой)}. ]

Таким образом, длина отрезка ( MK ) составляет примерно ( 6.35 ).