Из урны содержащей 3 белых и 4 черных шара извлекаются без возвращения шары до пояления белого шара...

Для решения задачи найдем закон распределения и математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров до появления белого шара.

1. Определение случайной величины:

Пусть ( X ) — случайная величина, обозначающая количество вынутых шаров до появления белого шара. Возможные значения ( X ) — это положительные целые числа ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ), так как белый шар может быть извлечен на любом из этих шагов.

1. Распределение вероятностей:

Рассмотрим вероятность того, что белый шар будет извлечен на ( k )-м шаге. Для этого нужно, чтобы первые ( k-1 ) шаров были черными, а ( k )-й шар — белым.

• Количество способов выбрать ( k-1 ) черных шаров из 4 черных: ( \binom{4}{k-1} )
• Количество способов выбрать ( 3 - 1 = 2 ) белых шара из оставшихся ( 3 ) белых и ( 4 - (k-1) ) черных: ( \binom{4-(k-1)}{2} )
• Общее количество способов выбрать ( k ) шаров из 7: ( \binom{7}{k} )

Вероятность ( P(X = k) ) равна:

[ P(X = k) = \frac{\text{Число способов, когда первым белый шар вытягивается на } k\text{-м шаге}}{\text{Общее количество способов вытянуть } k \text{ шаров из 7}} ]

Для ( k = 1 ):

[ P(X = 1) = \frac{3}{7} ]

Для ( k = 2 ):

[ P(X = 2) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{2}{7} ]

Для ( k = 3 ):

[ P(X = 3) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{35} ]

Для ( k = 4 ):

[ P(X = 4) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{7} ]

Для ( k = 5 ):

[ P(X = 5) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{1}{35} ]

Для ( k = 6 ):

[ P(X = 6) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{0}{3} = 0 ]

Для ( k = 7 ):

[ P(X = 7) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{0}{3} \times \frac{3}{2} = 0 ]

Таким образом, закон распределения ( X ) выглядит так:

[ P(X = 1) = \frac{3}{7} ] [ P(X = 2) = \frac{2}{7} ] [ P(X = 3) = \frac{6}{35} ] [ P(X = 4) = \frac{1}{7} ] [ P(X = 5) = \frac{1}{35} ] [ P(X = 6) = 0 ] [ P(X = 7) = 0 ]

1. Математическое ожидание:

Математическое ожидание ( E(X) ) рассчитывается как сумма произведений значений случайной величины и их вероятностей:

[ E(X) = \sum_{k=1}^7 k \cdot P(X = k) ]

Подставляем значения:

[ E(X) = 1 \cdot \frac{3}{7} + 2 \cdot \frac{2}{7} + 3 \cdot \frac{6}{35} + 4 \cdot \frac{1}{7} + 5 \cdot \frac{1}{35} + 6 \cdot 0 + 7 \cdot 0 ]

[ E(X) = \frac{3}{7} + \frac{4}{7} + \frac{18}{35} + \frac{4}{7} + \frac{5}{35} ]

Приведем к общему знаменателю (35):

[ E(X) = \frac{15}{35} + \frac{20}{35} + \frac{18}{35} + \frac{20}{35} + \frac{5}{35} ]

[ E(X) = \frac{78}{35} ]

[ E(X) = 2.23 ]

Таким образом, математическое ожидание случайного числа вынутого из урны шаров до появления белого шара составляет ( \frac{78}{35} \approx 2.23 ).

Закон распределения: P(X=k) = (4/7)^(k-1) * (3/7), где k - число вынутых шаров до появления белого. Математическое ожидание: E(X) = 7/3.

Для того чтобы найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров, давайте рассмотрим возможные исходы этого эксперимента.

Исходы:

1. Вынут первый белый шар: 1 шар вынут.
2. Вынут первый черный шар, затем белый: 2 шара вынуты.
3. Вынуты два черных шара, затем белый: 3 шара вынуты.
4. Вынуты три черных шара, затем белый: 4 шара вынуты.

Теперь найдем вероятность каждого из этих исходов:

1. Вероятность вынуть первый белый шар: 3/7 (3 белых шара из 7 общего числа)
2. Вероятность вынуть первый черный шар и затем белый: (4/7)*(3/6) = 1/7
3. Вероятность вынуть два черных шара и затем белый: (4/7)(3/6)(2/5) = 1/35
4. Вероятность вынуть три черных шара и затем белый: (4/7)(3/6)(2/5)*(1/4) = 1/140

Теперь можем определить закон распределения:

• P(X=1) = 3/7
• P(X=2) = 1/7
• P(X=3) = 1/35
• P(X=4) = 1/140

Теперь найдем математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров: E(X) = Σ(X P(X)) = 1(3/7) + 2(1/7) + 3(1/35) + 4*(1/140) ≈ 0.857

Таким образом, математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров составляет около 0.857.