Из урны содержащей 3 белых и 4 черных шара извлекаются без возвращения шары до пояления белого шара...

Для решения задачи найдем закон распределения и математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров до появления белого шара.

1. Определение случайной величины:

Пусть $X$ — случайная величина, обозначающая количество вынутых шаров до появления белого шара. Возможные значения $X$ — это положительные целые числа $1,2,3,4,5,6,7$, так как белый шар может быть извлечен на любом из этих шагов.

1. Распределение вероятностей:

Рассмотрим вероятность того, что белый шар будет извлечен на $k$-м шаге. Для этого нужно, чтобы первые $k-1$ шаров были черными, а $k$-й шар — белым.

• Количество способов выбрать $k-1$ черных шаров из 4 черных: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k-1})$
• Количество способов выбрать $3-1=2$ белых шара из оставшихся $3$ белых и $4-(k-1$ ) черных: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4-(k-1)}{2})$
• Общее количество способов выбрать $k$ шаров из 7: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k})$

Вероятность $P(X=k$ ) равна:

$P(X=k)=\frac{\text{Число способов, когда первым белый шар вытягивается на }k\text{-м шаге}}{\text{Общее количество способов вытянуть }k\text{ шаров из 7}}$

Для $k=1$:

$P(X=1)=\frac{3}{7}$

Для $k=2$:

$P(X=2)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}=\frac{2}{7}$

Для $k=3$:

$P(X=3)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{35}$

Для $k=4$:

$P(X=4)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{7}$

Для $k=5$:

$P(X=5)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{3}=\frac{1}{35}$

Для $k=6$:

$P(X=6)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{0}{3}=0$

Для $k=7$:

$P(X=7)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{0}{3}\times \frac{3}{2}=0$

Таким образом, закон распределения $X$ выглядит так:

$P(X=1)=\frac{3}{7}$ $P(X=2)=\frac{2}{7}$ $P(X=3)=\frac{6}{35}$ $P(X=4)=\frac{1}{7}$ $P(X=5)=\frac{1}{35}$ $P(X=6)=0$ $P(X=7)=0$

1. Математическое ожидание:

Математическое ожидание $E(X$ ) рассчитывается как сумма произведений значений случайной величины и их вероятностей:

$E(X)=\sum _{k=1}^{7}k\cdot P(X=k)$

Подставляем значения:

$E(X)=1\cdot \frac{3}{7}+2\cdot \frac{2}{7}+3\cdot \frac{6}{35}+4\cdot \frac{1}{7}+5\cdot \frac{1}{35}+6\cdot 0+7\cdot 0$

$E(X)=\frac{3}{7}+\frac{4}{7}+\frac{18}{35}+\frac{4}{7}+\frac{5}{35}$

Приведем к общему знаменателю $35$:

$E(X)=\frac{15}{35}+\frac{20}{35}+\frac{18}{35}+\frac{20}{35}+\frac{5}{35}$

$E(X)=\frac{78}{35}$

$E(X)=2.23$

Таким образом, математическое ожидание случайного числа вынутого из урны шаров до появления белого шара составляет $\frac{78}{35}\approx 2.23$.

Закон распределения: P$X=k$ = $4/7$^$k-1$ * $3/7$, где k - число вынутых шаров до появления белого. Математическое ожидание: E$X$ = 7/3.

Для того чтобы найти закон распределения и математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров, давайте рассмотрим возможные исходы этого эксперимента.

Исходы:

1. Вынут первый белый шар: 1 шар вынут.
2. Вынут первый черный шар, затем белый: 2 шара вынуты.
3. Вынуты два черных шара, затем белый: 3 шара вынуты.
4. Вынуты три черных шара, затем белый: 4 шара вынуты.

Теперь найдем вероятность каждого из этих исходов:

1. Вероятность вынуть первый белый шар: 3/7 $3белыхшараиз7общегочисла$
2. Вероятность вынуть первый черный шар и затем белый: $4/7$*$3/6$ = 1/7
3. Вероятность вынуть два черных шара и затем белый: $4/7$$3/6$$2/5$ = 1/35
4. Вероятность вынуть три черных шара и затем белый: $4/7$$3/6$$2/5$*$1/4$ = 1/140

Теперь можем определить закон распределения:

• P$X=1$ = 3/7
• P$X=2$ = 1/7
• P$X=3$ = 1/35
• P$X=4$ = 1/140

Теперь найдем математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров: E$X$ = Σ(X P$X$) = 1$3/7$ + 2$1/7$ + 3$1/35$ + 4*$1/140$ ≈ 0.857

Таким образом, математическое ожидание случайного числа вынутых из урны шаров составляет около 0.857.