Для решения этой задачи необходимо учесть влияние течения реки на время плавания теплохода и плотов. Поскольку плоты движутся исключительно по течению, нам нужно понять, как именно течение реки влияет на скорость теплохода.
Обозначим:
- — скорость теплохода в стоячей воде .
- — скорость течения реки.
- — расстояние между Нижним Новгородом и Астраханью.
Для теплохода, плывущего вниз по течению , его эффективная скорость будет ( V{\text{т}} + V{\text{р}} ). В обратном направлении — ( V{\text{т}} - V{\text{р}} ).
Зная время в пути, мы можем выразить расстояние двумя способами:
- Вниз по течению:
[ S = (V{\text{т}} + V{\text{р}}) \times 5 ]
- Против течения:
[ S = (V{\text{т}} - V{\text{р}}) \times 7 ]
Приравняем эти два выражения:
[ (V{\text{т}} + V{\text{р}}) \times 5 = (V{\text{т}} - V{\text{р}}) \times 7 ]
Раскроем скобки:
[ 5V{\text{т}} + 5V{\text{р}} = 7V{\text{т}} - 7V{\text{р}} ]
Перенесём все члены с ( V{\text{т}} ) в одну сторону, а с ( V{\text{р}} ) в другую:
[ 5V{\text{т}} - 7V{\text{т}} = -7V{\text{р}} - 5V{\text{р}} ]
[ -2V{\text{т}} = -12V{\text{р}} ]
Разделим обе части уравнения на -2:
[ V{\text{т}} = 6V{\text{р}} ]
Теперь подставим найденное значение ( V{\text{т}} ) в одно из исходных уравнений для нахождения расстояния . Возьмём первое уравнение:
[ S = (6V{\text{р}} + V{\text{р}}) \times 5 ]
[ S = 7V{\text{р}} \times 5 ]
Теперь, когда мы знаем расстояние , можем найти время, за которое плоты проплывут это расстояние. Плоты движутся только со скоростью течения реки, то есть их скорость равна .
Время, необходимое плотам для преодоления расстояния :
[ t = \frac{S}{V{\text{р}}} ]
[ t = \frac{35V{\text{р}}}{V_{\text{р}}} ]
Таким образом, плоты проплывут из Нижнего Новгорода в Астрахань за 35 суток.