Исследуйте на экстремуме f$x$ =2x^3+9x^2+12x-2

Для решения задачи о нахождении экстремумов функции $f(x$ = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 ), выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f(x$ ): $f^{\prime }(x)=(2x^3+9x^2+12x-2{)}^{\prime }=6x^2+18x+12.$

2. Определим критические точки, решив уравнение $f^{\prime }(x$ = 0 ): $6x^2+18x+12=0.$ Делим обе стороны уравнения на 6: $x^2+3x+2=0.$ Разложим на множители: $(x+1)(x+2)=0.$ Отсюда получаем критические точки $x=-1$ и $x=-2$.

3. Исследуем знак производной в интервалах, разделенных критическими точками, чтобы определить, является ли каждая точка минимумом, максимумом или точкой перегиба:

   • Когда $x<-2$, подставим, например, $x=-3$: $f^{\prime }(-3)=6(-3{)}^2+18(-3)+12=54-54+12=12>0.$
   • Между $-2$ и $-1$, подставим $x=-1.5$: $f^{\prime }(-1.5)=6(-1.5{)}^2+18(-1.5)+12=13.5-27+12=-1.5<0.$
   • Когда $x>-1$, подставим $x=0$: $f^{\prime }(0)=6(0{)}^2+18(0)+12=12>0.$

4. Сделаем выводы:

   • Так как производная меняет знак с "+" на "-" при переходе через точку $x=-2$, точка $x=-2$ является точкой локального максимума.
   • Так как производная меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку $x=-1$, точка $x=-1$ является точкой локального минимума.

5. Вычислим значения функции в экстремальных точках:

   • $f(-2$ = 2$-2$^3 + 9$-2$^2 + 12$-2$ - 2 = -16 + 36 - 24 - 2 = -6 ),
   • $f(-1$ = 2$-1$^3 + 9$-1$^2 + 12$-1$ - 2 = -2 + 9 - 12 - 2 = -7 ).

Итак, функция $f(x$ = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 ) имеет локальный максимум $(-2,-6$) и локальный минимум $(-1,-7$).

Для того чтобы исследовать функцию f$x$ = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 на экстремумы, нам необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

f'$x$ = 6x^2 + 18x + 12

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

6x^2 + 18x + 12 = 0

Делим обе части на 6:

x^2 + 3x + 2 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

$x+1$$x+2$ = 0

Отсюда получаем два корня:

x1 = -1 и x2 = -2

Теперь найдем вторую производную и подставим найденные корни для определения типа экстремума:

f''$x$ = 12x + 18

f''$-1$ = 12*$-1$ + 18 = 6 > 0

f''$-2$ = 12*$-2$ + 18 = -6 < 0

Исходя из знака второй производной, мы можем сделать вывод, что в точке x = -1 у функции f$x$ есть минимум, а в точке x = -2 - максимум.

Таким образом, экстремумы функции f$x$ = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2:

• Минимум в точке x = -1
• Максимум в точке x = -2