Исследуйте на экстремуме f(x) =2x^3+9x^2+12x-2

Для решения задачи о нахождении экстремумов функции ( f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 ), выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = (2x^3 + 9x^2 + 12x - 2)' = 6x^2 + 18x + 12. ]

2. Определим критические точки, решив уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 6x^2 + 18x + 12 = 0. ] Делим обе стороны уравнения на 6: [ x^2 + 3x + 2 = 0. ] Разложим на множители: [ (x + 1)(x + 2) = 0. ] Отсюда получаем критические точки ( x = -1 ) и ( x = -2 ).

3. Исследуем знак производной в интервалах, разделенных критическими точками, чтобы определить, является ли каждая точка минимумом, максимумом или точкой перегиба:

   • Когда ( x < -2 ), подставим, например, ( x = -3 ): [ f'(-3) = 6(-3)^2 + 18(-3) + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 > 0. ]
   • Между ( -2 ) и ( -1 ), подставим ( x = -1.5 ): [ f'(-1.5) = 6(-1.5)^2 + 18(-1.5) + 12 = 13.5 - 27 + 12 = -1.5 < 0. ]
   • Когда ( x > -1 ), подставим ( x = 0 ): [ f'(0) = 6(0)^2 + 18(0) + 12 = 12 > 0. ]

4. Сделаем выводы:

   • Так как производная меняет знак с "+" на "-" при переходе через точку ( x = -2 ), точка ( x = -2 ) является точкой локального максимума.
   • Так как производная меняет знак с "-" на "+" при переходе через точку ( x = -1 ), точка ( x = -1 ) является точкой локального минимума.

5. Вычислим значения функции в экстремальных точках:

   • ( f(-2) = 2(-2)^3 + 9(-2)^2 + 12(-2) - 2 = -16 + 36 - 24 - 2 = -6 ),
   • ( f(-1) = 2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 12(-1) - 2 = -2 + 9 - 12 - 2 = -7 ).

Итак, функция ( f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 ) имеет локальный максимум ((-2, -6)) и локальный минимум ((-1, -7)).

Для того чтобы исследовать функцию f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2 на экстремумы, нам необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

f'(x) = 6x^2 + 18x + 12

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

6x^2 + 18x + 12 = 0

Делим обе части на 6:

x^2 + 3x + 2 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x + 1)(x + 2) = 0

Отсюда получаем два корня:

x1 = -1 и x2 = -2

Теперь найдем вторую производную и подставим найденные корни для определения типа экстремума:

f''(x) = 12x + 18

f''(-1) = 12*(-1) + 18 = 6 > 0

f''(-2) = 12*(-2) + 18 = -6 < 0

Исходя из знака второй производной, мы можем сделать вывод, что в точке x = -1 у функции f(x) есть минимум, а в точке x = -2 - максимум.

Таким образом, экстремумы функции f(x) = 2x^3 + 9x^2 + 12x - 2:

• Минимум в точке x = -1
• Максимум в точке x = -2