Исследуйте функцию и постройте её график: y=2x^3-3x^2

Для исследования функции $y=2x^3-3x^2$ следует выполнить несколько шагов: найти область определения, исследовать на чётность/нечётность, определить точки пересечения с осями, найти производные для анализа монотонности и экстремумов, исследовать поведение на бесконечности, а также построить график функции.

1. Область определения: Функция $y=2x^3-3x^2$ определена на всей числовой прямой, то есть $x\in \mathbb{R}$.

2. Чётность/Нечётность: Проверим функцию на чётность и нечётность: $f(-x)=2(-x{)}^3-3(-x{)}^2=-2x^3-3x^2=-(2x^3-3x^2)=-f(x).$ Функция нечётная, так как $f(-x$ = -f$x$ ).

3. Точки пересечения с осями:

   • Пересечение с осью $y$ $где(x=0$): $y=2\cdot 0^3-3\cdot 0^2=0$. Точка пересечения: $(0,0$ ).
   • Пересечение с осью $x$ $где(y=0$): $2x^3-3x^2=0$. $x^2(2x-3)=0.$ Решения: $x=0$ или $2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$. Точки пересечения: $(0,0$ ) и $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).

4. Производная и критические точки: Найдем первую производную для исследования монотонности: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(2x^3-3x^2)=6x^2-6x=6x(x-1).$ Критические точки: $6x(x-1$ = 0 \Rightarrow x = 0 ) или $x=1$.

5. Интервалы монотонности: Исследуем знаки производной на интервалах:

   • Для $x<0$: $6x(x-1$ > 0 ), функция возрастает.
   • Для $0<x<1$: $6x(x-1$ < 0 ), функция убывает.
   • Для $x>1$: $6x(x-1$ > 0 ), функция возрастает.

6. Экстремумы:

   • В точке $x=0$: переход от возрастания к убыванию $локальныймаксимум$. $y(0)=0.$
   • В точке $x=1$: переход от убывания к возрастанию $локальныйминимум$. $y(1)=2\cdot 1^3-3\cdot 1^2=2-3=-1.$

7. Поведение на бесконечности: Рассмотрим пределы:

   • При $x\to +\mathrm{\infty }$, $y\to +\mathrm{\infty }$.
   • При $x\to -\mathrm{\infty }$, $y\to -\mathrm{\infty }$.

8. Построение графика: На основе проведенного анализа, график функции будет иметь:

   • Точку пересечения с осями в $(0,0$ ) и $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ ).
   • Локальный максимум в $(0,0$ ) и локальный минимум в $(1,-1$ ).
   • Функция возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },0$ ) и $(1,\mathrm{\infty }$ ), убывает на интервале $(0,1$ ).

График функции представляет собой кубическую кривую, проходящую через указанные точки с характерными максимумами и минимумами, симметричную относительно начала координат из-за нечётности функции.

Для исследования функции y=2x^3-3x^2 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции по x: y' = 6x^2 - 6x y'' = 12x - 6

2. Найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю: 6x^2 - 6x = 0 6x$x-1$ = 0 x = 0, x = 1

3. Подставим найденные точки экстремума в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: При x=0: y$0$ = 0 При x=1: y$1$ = -1

4. Исследуем поведение функции в окрестности найденных точек экстремума, используя знак производной:

   • Для x < 0: y' < 0, функция убывает
   • Для 0 < x < 1: y' > 0, функция возрастает
   • Для x > 1: y' < 0, функция убывает

Таким образом, мы можем построить график функции y=2x^3-3x^2, учитывая найденные точки экстремума и поведение функции в окрестностях этих точек. График будет иметь форму кубической параболы, проходящей через точку $0,0$ и имеющей точку экстремума в точке $1,-1$.