Исследуйте функцию и постройте её график: y=2x^3-3x^2

Для исследования функции ( y = 2x^3 - 3x^2 ) следует выполнить несколько шагов: найти область определения, исследовать на чётность/нечётность, определить точки пересечения с осями, найти производные для анализа монотонности и экстремумов, исследовать поведение на бесконечности, а также построить график функции.

1. Область определения: Функция ( y = 2x^3 - 3x^2 ) определена на всей числовой прямой, то есть ( x \in \mathbb{R} ).

2. Чётность/Нечётность: Проверим функцию на чётность и нечётность: [ f(-x) = 2(-x)^3 - 3(-x)^2 = -2x^3 - 3x^2 = -(2x^3 - 3x^2) = -f(x). ] Функция нечётная, так как ( f(-x) = -f(x) ).

3. Точки пересечения с осями:

   • Пересечение с осью ( y ) (где ( x = 0 )): ( y = 2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 ). Точка пересечения: ( (0, 0) ).
   • Пересечение с осью ( x ) (где ( y = 0 )): ( 2x^3 - 3x^2 = 0 ). [ x^2(2x - 3) = 0. ] Решения: ( x = 0 ) или ( 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} ). Точки пересечения: ( (0, 0) ) и ( \left(\frac{3}{2}, 0 \right) ).

4. Производная и критические точки: Найдем первую производную для исследования монотонности: [ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1). ] Критические точки: ( 6x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 ) или ( x = 1 ).

5. Интервалы монотонности: Исследуем знаки производной на интервалах:

   • Для ( x < 0 ): ( 6x(x - 1) > 0 ), функция возрастает.
   • Для ( 0 < x < 1 ): ( 6x(x - 1) < 0 ), функция убывает.
   • Для ( x > 1 ): ( 6x(x - 1) > 0 ), функция возрастает.

6. Экстремумы:

   • В точке ( x = 0 ): переход от возрастания к убыванию (локальный максимум). [ y(0) = 0. ]
   • В точке ( x = 1 ): переход от убывания к возрастанию (локальный минимум). [ y(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1. ]

7. Поведение на бесконечности: Рассмотрим пределы:

   • При ( x \to +\infty ), ( y \to +\infty ).
   • При ( x \to -\infty ), ( y \to -\infty ).

8. Построение графика: На основе проведенного анализа, график функции будет иметь:

   • Точку пересечения с осями в ( (0, 0) ) и ( \left(\frac{3}{2}, 0 \right) ).
   • Локальный максимум в ( (0, 0) ) и локальный минимум в ( (1, -1) ).
   • Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, 0) ) и ( (1, \infty) ), убывает на интервале ( (0, 1) ).

График функции представляет собой кубическую кривую, проходящую через указанные точки с характерными максимумами и минимумами, симметричную относительно начала координат из-за нечётности функции.

Для исследования функции y=2x^3-3x^2 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производные функции по x: y' = 6x^2 - 6x y'' = 12x - 6

2. Найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю: 6x^2 - 6x = 0 6x(x - 1) = 0 x = 0, x = 1

3. Подставим найденные точки экстремума в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: При x=0: y(0) = 0 При x=1: y(1) = -1

4. Исследуем поведение функции в окрестности найденных точек экстремума, используя знак производной:

   • Для x < 0: y' < 0, функция убывает
   • Для 0 < x < 1: y' > 0, функция возрастает
   • Для x > 1: y' < 0, функция убывает

Таким образом, мы можем построить график функции y=2x^3-3x^2, учитывая найденные точки экстремума и поведение функции в окрестностях этих точек. График будет иметь форму кубической параболы, проходящей через точку (0,0) и имеющей точку экстремума в точке (1,-1).