Исследование функции и построение графика f(x)=x2-2x+8

Для исследования функции f(x)=x^2-2x+8 на ее поведение и построения ее графика нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем вершину параболы, которая является графиком функции f(x)=x^2-2x+8. Для этого воспользуемся формулой вершины параболы x=-b/(2a), где a=1, b=-2. Таким образом, x=1. Теперь найдем значение функции в этой точке: f(1)=1^2-2*1+8=7. Получаем вершину параболы: V(1, 7).

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена D=b^2-4ac, где a=1, b=-2, c=8. D=(-2)^2-418=4-32=-28. Так как D<0, то уравнение f(x)=x^2-2x+8 не имеет действительных корней.

3. Определим направление ветвей параболы. Так как коэффициент при x^2 положителен, то парабола будет направлена вверх.

4. Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого решим уравнения f(x)=0: x^2-2x+8=0. Как было показано ранее, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, парабола не пересекает ось x.

5. Построим график функции f(x)=x^2-2x+8 с учетом всех полученных данных. Вершина параболы находится в точке (1, 7), она направлена вверх и не пересекает ось x.

Таким образом, исследование функции f(x)=x^2-2x+8 и построение ее графика позволяет нам понять ее поведение, наличие экстремума, направление ветвей и другие характеристики.

Для исследования функции и построения её графика рассмотрим функцию ( f(x) = x^2 - 2x + 8 ). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Рассмотрим основные аспекты, чтобы полностью исследовать данную функцию.

1. Определение вершины параболы

Координаты вершины параболы для функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) можно найти по формулам:

• ( x_0 = -\frac{b}{2a} )
• ( y_0 = f(x_0) )

Для нашей функции ( a = 1, b = -2, c = 8 ). Таким образом:

• ( x_0 = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1 )
• ( y_0 = 1^2 - 2 \times 1 + 8 = 7 )

Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, 7).

2. Интервалы возрастания и убывания

Так как коэффициент ( a ) положителен (a = 1), парабола имеет ветви, направленные вверх. Это означает, что функция убывает на интервале ( (-\infty, 1] ) и возрастает на интервале ( [1, \infty) ).

3. Ось симметрии

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину. В нашем случае это прямая ( x = 1 ).

4. Нули функции (корни уравнения)

Для нахождения корней уравнения ( x^2 - 2x + 8 = 0 ) найдем дискриминант:

• ( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 4 - 32 = -28 )

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Это означает, что график функции не пересекает ось x.

5. Поведение на бесконечности

• При ( x \rightarrow \infty ), ( f(x) \rightarrow \infty )
• При ( x \rightarrow -\infty ), ( f(x) \rightarrow \infty )

6. График

На основе проведенного анализа можно построить график функции. Парабола имеет вершину в точке (1, 7), направлена вверх, не пересекает ось x и симметрична относительно прямой ( x = 1 ).

Этот анализ дает полное представление о поведении функции ( f(x) = x^2 - 2x + 8 ) и позволяет точно построить ее график.

Для исследования функции f(x)=x^2-2x+8 находим вершины параболы, определяем вершины, находим точки пересечения с осями координат и строим график.