Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека,...

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторные методы, а именно сочетания. Сочетанием из ( n ) элементов по ( k ) называется выбор ( k ) элементов из ( n ) без учёта порядка их следования. Количество таких сочетаний обозначается ( C_n^k ) и рассчитывается по формуле: [ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} ] где ( n! ) — факториал числа ( n ), т.е. произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).

В данной задаче нам нужно разделить 20 студентов на три группы разного размера: 3, 5 и 12 человек. Для этого:

1. Выбираем 3 студента из 20 для первой бригады. Это можно сделать ( C_{20}^3 ) способами.
2. Затем из оставшихся 17 студентов выбираем 5 для второй бригады. Это можно сделать ( C_{17}^5 ) способами.
3. Наконец, из оставшихся 12 студентов выбираем всех 12 для третьей бригады. Это можно сделать ( C_{12}^{12} ) способами, что равно 1, так как выбираем всех оставшихся студентов.

Теперь, чтобы найти общее количество способов разбить студентов на три группы, нужно перемножить количество способов выбора для каждой группы: [ C{20}^3 \times C{17}^5 \times C_{12}^{12} ]

Подставляя значения: [ C{20}^3 = \frac{20!}{3! \times (20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 ] [ C{17}^5 = \frac{17!}{5! \times (17-5)!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6188 ] [ C_{12}^{12} = \frac{12!}{12! \times (12-12)!} = 1 ]

Таким образом, общее количество способов разбиения студентов на группы: [ 1140 \times 6188 \times 1 = 7054320 ]

Ответ: Группу из 20 студентов можно разделить на три бригады заданного состава 7,054,320 различными способами.

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой сочетаний.

Сначала выберем 3 студента из 20 для первой бригады: C(20,3) = 1140 способов. Затем выберем 5 студентов из 17 (оставшиеся после выбора для первой бригады) для второй бригады: C(17,5) = 6188 способов. И наконец, оставшиеся 12 студентов пойдут в третью бригаду.

Таким образом, общее количество способов разделить студентов на 3 бригады по заданным условиям равно произведению количества способов выбора студентов для каждой бригады: 1140 * 6188 = 7051920 способов.

Итак, студенты можно разделить на 3 бригады указанным образом 7051920 способами.