F $x$ = 3x^5 - 5x^3 + 2 исследуйте функцию с помощью произвольной и постройте её график

Для исследования данной функции сначала найдем ее производную:

F'$x$ = 15x^4 - 15x^2

Далее найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

15x^4 - 15x^2 = 0 15x^2$x^2-1$ = 0 x = 0, x = 1, x = -1

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на бесконечностях:

F$0$ = 2 F$1$ = 3 - 5 + 2 = 0 F$-1$ = -3 - 5 + 2 = -6

Таким образом, точки экстремума находятся в точках $0,2$, $1,0$, $-1,-6$.

Далее построим график функции F$x$ = 3x^5 - 5x^3 + 2, используя найденные точки и информацию о поведении функции в окрестности этих точек. График будет выглядеть следующим образом: $приведуграфик$

$графикфункции$

Таким образом, исследование функции и построение ее графика позволяют нам понять ее поведение и выделить основные характеристики.

Для того чтобы исследовать функцию $f(x$ = 3x^5 - 5x^3 + 2 ), мы можем использовать различные методы анализа, включая нахождение производных, критических точек, точек перегиба, асимптот, и интервалы возрастания/убывания. Также мы построим график функции.

1. Первая производная и критические точки

Первая производная функции используется для определения критических точек и интервалов возрастания/убывания функции.

$f^{\prime }(x)=15x^4-15x^2$ $f^{\prime }(x)=15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1)$

Критические точки находим из условия $f^{\prime }(x$ = 0 ):

$x^2=0\Rightarrow x=0$ $x^2-1=0\Rightarrow x=1\text{ или }x=-1$

2. Интервалы возрастания и убывания

Рассмотрим знаки производной на интервалах между критическими точками:

• $(-\mathrm{\infty },-1$ ) — производная положительна $(f(x$ ) возрастает).
• $(-1,0$ ) — производная отрицательна $(f(x$ ) убывает).
• $(0,1$ ) — производная отрицательна $(f(x$ ) убывает).
• $(1,\mathrm{\infty }$ ) — производная положительна $(f(x$ ) возрастает).

3. Вторая производная и точки перегиба

Вторая производная функции поможет найти точки перегиба.

$f^{″}(x)=60x^3-30x$ $f^{″}(x)=30x(2x^2-1)$

Точки перегиба находим из условия $f^{″}(x$ = 0 ):

$x=0$ $2x^2-1=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Асимптоты

Функция полиномиальна, и поскольку старший член $3x^5$, функция не имеет вертикальных или горизонтальных асимптот.

Построение графика

Для построения графика учитываются найденные интервалы возрастания/убывания, точки перегиба и поведение функции на бесконечности. График можно создать с помощью графического калькулятора или компьютерной программы для построения графиков, такой как Desmos, GeoGebra и др.

Заключение

Функция $f(x$ = 3x^5 - 5x^3 + 2 ) имеет три критические точки $x=-1,0,1$, три точки перегиба $x=-\frac{\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}$, возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-1$ ) и $(1,\mathrm{\infty }$ ), убывает на $(-1,0$ ) и $(0,1$ ). График этой функции имеет сложную форму с несколькими изгибами и изменениями направления.

Для исследования функции F$x$ = 3x^5 - 5x^3 + 2 можем найти её производные, нули функции, точки экстремума, асимптоты и построить график.