Эскалатор спускает идущего по нему вниз человека за 30 секунд. Если человек будет идти вниз втрое быстрее,...

Для решения этой задачи обозначим:

• $v$ — скорость человека, идущего по эскалатору $вметрахвсекунду$.
• $e$ — скорость эскалатора $вметрахвсекунду$.
• $d$ — длина эскалатора $вметрах$.

Согласно условию, если человек идет вниз по эскалатору с обычной скоростью $v$, он спускается за 30 секунд. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:

$d=(v+e)\cdot 30$

Если человек идет вниз втрое быстрее, то его скорость будет $3v$. В этом случае он спустится за 15 секунд:

$d=(3v+e)\cdot 15$

Теперь у нас есть две формулы для длины эскалатора $d$:

1. $d=(v+e$ \cdot 30 )
2. $d=(3v+e$ \cdot 15 )

Приравняем эти два выражения:

$(v+e)\cdot 30=(3v+e)\cdot 15$

Распределим обе стороны:

$30v+30e=45v+15e$

Теперь сгруппируем все члены с $v$ и $e$:

$30e-15e=45v-30v$

Это упрощается до:

$15e=15v$

Упростим уравнение, разделив обе стороны на 15:

$e=v$

Теперь мы знаем, что скорость эскалатора равна скорости человека. Подставим это значение обратно в одно из уравнений для $d$. Например, в первое:

$d=(v+e)\cdot 30=(v+v)\cdot 30=2v\cdot 30=60v$

Теперь найдем время, за которое человек, стоящий на эскалаторе, спустится вниз. Если человек стоит на эскалаторе, то он движется только со скоростью эскалатора $e$ $котораяравна(v$). Таким образом, время $t$, необходимое для спуска на эскалаторе, можно найти по формуле:

$t=\frac{d}{e}=\frac{60v}{v}=60\text{ секунд}$

Таким образом, человек, стоящий на эскалаторе, спустится за 60 секунд.

Для решения задачи введем обозначения и разберем её шаг за шагом.

1. Обозначения:

   • $v_{\text{эск}}$: скорость эскалатора.
   • $v_{\text{чел}}$: скорость человека при нормальном шаге.
   • $L$: длина эскалатора.

2. Условия задачи:

   • Когда человек идет вниз с нормальной скоростью (( v{\text{чел}} )), он спускается за 30 секунд. Это означает, что его общая скорость равна ( v{\text{эск}} + v{\text{чел}} ), и за это время он проходит длину эскалатора: [ L = (v{\text{эск}} + v_{\text{чел}}) \cdot 30. ]

   • Когда человек идет втрое быстрее (( 3v{\text{чел}} )), он спускается за 15 секунд. В этом случае его общая скорость равна ( v{\text{эск}} + 3v{\text{чел}} ), и за это время он также проходит длину эскалатора: [ L = (v{\text{эск}} + 3v_{\text{чел}}) \cdot 15. ]

3. Система уравнений: Из двух приведенных выше уравнений выразим $L$: [ (v{\text{эск}} + v{\text{чел}}) \cdot 30 = (v{\text{эск}} + 3v{\text{чел}}) \cdot 15. ]

   Раскроем скобки: [ 30v{\text{эск}} + 30v{\text{чел}} = 15v{\text{эск}} + 45v{\text{чел}}. ]

   Упростим выражение: [ 30v{\text{эск}} - 15v{\text{эск}} = 45v{\text{чел}} - 30v{\text{чел}}, ] [ 15v{\text{эск}} = 15v{\text{чел}}. ]

   Отсюда видно, что ( v{\text{эск}} = v{\text{чел}} ).

4. Найдем время спуска стоящего человека: Если человек стоит на эскалаторе, то его скорость равна скорости эскалатора (( v{\text{эск}} )). Тогда время, за которое человек спустится, можно найти из формулы ( L = v{\text{эск}} \cdot t{\text{стоян}} ), где ( t{\text{стоян}} ) — искомое время.

   Подставим ( L = (v{\text{эск}} + v{\text{чел}}) \cdot 30 ) и ( v{\text{чел}} = v{\text{эск}} ): [ L = (v{\text{эск}} + v{\text{эск}}) \cdot 30 = 2v{\text{эск}} \cdot 30 = 60v{\text{эск}}. ]

   Теперь выразим ( t{\text{стоян}} ): [ t{\text{стоян}} = \frac{L}{v{\text{эск}}} = \frac{60v{\text{эск}}}{v_{\text{эск}}} = 60. ]

5. Ответ: Если человек стоит на эскалаторе, он спустится за 60 секунд.

Человек, стоящий на эскалаторе, спустится за 20 секунд.