Докажите,что если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны,то диагонали этого четырёхугольника...

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим четырёхугольник ABCD, у которого стороны AB=CD и BC=AD.

Проведём диагонали AC и BD и обозначим их точку пересечения как O.

Так как AB=CD и BC=AD, то у треугольников ABC и ADC равны две стороны и угол между ними $AB=CD,AD=BC,уголABC=уголADC$, следовательно, данные треугольники равны.

Таким образом, у треугольников AOD и COB также равны две стороны и угол между ними $AD=BC,DC=AB,уголADO=уголCBO$, и они также равны.

Из равенства треугольников следует, что AO=OC и DO=OB.

Таким образом, диагонали AC и BD точкой пересечения O делятся пополам.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, у которого противоположные стороны попарно равны: $AB=CD$ и $BC=DA$.

Нам нужно доказать, что диагонали этого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то есть доказать, что точка пересечения диагоналей является их серединой.

Для начала, введём обозначения точек пересечения диагоналей. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1. Свойство параллелограмма: Для доказательства мы воспользуемся свойством параллелограмма: если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Давайте это докажем.

   Поскольку $AB=CD$ и $BC=DA$, можно утверждать, что $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

2. Доказательство равенства диагоналей: В параллелограмме известно, что диагонали точкой пересечения делятся пополам.

   Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$.

   Из свойства параллелограмма следует, что: $AO=OC\text{и}BO=OD$

   Это означает, что точка $O$ делит диагональ $AC$ на два равных отрезка $AO$ и $OC$, а диагональ $BD$ на два равных отрезка $BO$ и $OD$.

3. Обратное доказательство: Поскольку $ABCD$ — параллелограмм $всилуравенствапротивоположныхсторон$, мы имеем полное право утверждать, что его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Итак, мы показали, что если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. А в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, диагонали четырёхугольника $ABCD$ делятся пополам в точке пересечения $O$. Q.E.D. $чтоитребовалосьдоказать$.