Докажите,что если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны,то диагонали этого четырёхугольника...

Для доказательства данного утверждения, рассмотрим четырёхугольник ABCD, у которого стороны AB=CD и BC=AD.

Проведём диагонали AC и BD и обозначим их точку пересечения как O.

Так как AB=CD и BC=AD, то у треугольников ABC и ADC равны две стороны и угол между ними (AB=CD, AD=BC, угол ABC=угол ADC), следовательно, данные треугольники равны.

Таким образом, у треугольников AOD и COB также равны две стороны и угол между ними (AD=BC, DC=AB, угол ADO=угол CBO), и они также равны.

Из равенства треугольников следует, что AO=OC и DO=OB.

Таким образом, диагонали AC и BD точкой пересечения O делятся пополам.

Рассмотрим четырёхугольник (ABCD), у которого противоположные стороны попарно равны: (AB = CD) и (BC = DA).

Нам нужно доказать, что диагонали этого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то есть доказать, что точка пересечения диагоналей является их серединой.

Для начала, введём обозначения точек пересечения диагоналей. Пусть диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O).

1. Свойство параллелограмма: Для доказательства мы воспользуемся свойством параллелограмма: если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Давайте это докажем.

   Поскольку (AB = CD) и (BC = DA), можно утверждать, что (ABCD) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.

2. Доказательство равенства диагоналей: В параллелограмме известно, что диагонали точкой пересечения делятся пополам.

   Рассмотрим диагонали (AC) и (BD), которые пересекаются в точке (O).

   Из свойства параллелограмма следует, что: [ AO = OC \quad \text{и} \quad BO = OD ]

   Это означает, что точка (O) делит диагональ (AC) на два равных отрезка (AO) и (OC), а диагональ (BD) на два равных отрезка (BO) и (OD).

3. Обратное доказательство: Поскольку (ABCD) — параллелограмм (в силу равенства противоположных сторон), мы имеем полное право утверждать, что его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Итак, мы показали, что если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. А в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, диагонали четырёхугольника (ABCD) делятся пополам в точке пересечения (O). Q.E.D. (что и требовалось доказать).