Докажите что числа 483 и 368 не взаимно простые 468 и 875 взаимно простые

Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Для чисел 483 и 368 находим их наибольший общий делитель: НОД(483, 368) = 1, значит они взаимно простые. Для чисел 468 и 875: НОД(468, 875) = 1, значит они тоже взаимно простые.

Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Для чисел 483 и 368, найдем их наибольший общий делитель. 483 = 3 7 23 368 = 2 2 2 * 23 Наибольший общий делитель чисел 483 и 368 равен 23, что не равно 1. Следовательно, числа 483 и 368 не являются взаимно простыми.

Для чисел 468 и 875, найдем их наибольший общий делитель. 468 = 2 2 3 3 13 875 = 5 5 5 * 7 Наибольший общий делитель чисел 468 и 875 равен 1. Следовательно, числа 468 и 875 являются взаимно простыми.

Чтобы доказать, что два числа не являются взаимно простыми, необходимо показать, что у них есть общий делитель, отличный от 1. А чтобы доказать, что два числа являются взаимно простыми, нужно показать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1.

Часть 1: Числа 483 и 368 не взаимно простые

Для этого вычислим наибольший общий делитель (НОД) чисел 483 и 368. Один из эффективных методов для этого — алгоритм Евклида.

1. Делим большее число на меньшее и находим остаток: [ 483 \div 368 = 1 \text{ (целая часть)}, \quad 483 - 368 = 115 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (483 = 368 \cdot 1 + 115).

2. Теперь берем 368 и делим на 115: [ 368 \div 115 = 3 \text{ (целая часть)}, \quad 368 - 115 \cdot 3 = 23 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (368 = 115 \cdot 3 + 23).

3. Теперь берем 115 и делим на 23: [ 115 \div 23 = 5 \text{ (целая часть)}, \quad 115 - 23 \cdot 5 = 0 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (115 = 23 \cdot 5 + 0).

Последний ненулевой остаток — 23. Это и есть НОД(483, 368). Поскольку НОД не равен 1, числа 483 и 368 не являются взаимно простыми.

Часть 2: Числа 468 и 875 взаимно простые

Для этого также вычислим наибольший общий делитель (НОД) чисел 468 и 875 с помощью алгоритма Евклида.

1. Делим большее число на меньшее и находим остаток: [ 875 \div 468 = 1 \text{ (целая часть)}, \quad 875 - 468 = 407 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (875 = 468 \cdot 1 + 407).

2. Теперь берем 468 и делим на 407: [ 468 \div 407 = 1 \text{ (целая часть)}, \quad 468 - 407 = 61 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (468 = 407 \cdot 1 + 61).

3. Теперь берем 407 и делим на 61: [ 407 \div 61 = 6 \text{ (целая часть)}, \quad 407 - 61 \cdot 6 = 41 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (407 = 61 \cdot 6 + 41).

4. Теперь берем 61 и делим на 41: [ 61 \div 41 = 1 \text{ (целая часть)}, \quad 61 - 41 = 20 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (61 = 41 \cdot 1 + 20).

5. Теперь берем 41 и делим на 20: [ 41 \div 20 = 2 \text{ (целая часть)}, \quad 41 - 20 \cdot 2 = 1 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, (41 = 20 \cdot 2 + 1).

6. Теперь берем 20 и делим на 1: [ 20 \div 1 = 20 \text{ (целая часть)}, \quad 20 - 1 \cdot 20 = 0 \quad (\text{остаток}) ] Таким образом, ( 20 = 1 \cdot 20 + 0 ).

Последний ненулевой остаток — 1. Это и есть НОД(468, 875). Поскольку НОД равен 1, числа 468 и 875 являются взаимно простыми.

Таким образом, мы доказали, что числа 483 и 368 не являются взаимно простыми, а числа 468 и 875 являются взаимно простыми.