Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды 6 см, а боковое ребро составляет с плоскостью...

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды с заданными параметрами необходимо выполнить несколько шагов.

1. Определение высоты пирамиды:

   Поскольку боковое ребро пирамиды составляет угол 30° с плоскостью основания, можно воспользоваться тригонометрией для нахождения высоты пирамиды. Пусть ( S ) - вершина пирамиды, ( ABCD ) - основание пирамиды, и ( O ) - центр основания.

   В правильной четырехугольной пирамиде центр основания ( O ) находится на пересечении диагоналей, и точка ( O ) является проекцией вершины ( S ) на плоскость основания. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

   Длина диагонали квадрата со стороной 6 см: [ d = 6 \sqrt{2} \, \text{см} ] Половина диагонали: [ \frac{d}{2} = 3 \sqrt{2} \, \text{см} ]

   В треугольнике ( SOO_1 ) (где ( O_1 ) - середина стороны квадрата), угол ( \angle SOO_1 = 30° ), ( OO_1 = 3 \, \text{см} ).

   Используем тангенс угла для нахождения высоты ( h ): [ \tan 30° = \frac{h}{OO_1} = \frac{h}{3 \sqrt{2}} ] Так как (\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}), получаем: [ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{3 \sqrt{2}} ] Решим это уравнение для ( h ): [ h = 3 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} \, \text{см} ]

2. Нахождение площади основания:

   Поскольку основание пирамиды - квадрат со стороной 6 см, его площадь равна: [ S_{\text{осн}} = 6 \times 6 = 36 \, \text{кв. см} ]

3. Вычисление объема пирамиды:

   Формула для объема пирамиды: [ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h ] Подставим найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \times 36 \times \sqrt{6} ] Упростим: [ V = 12 \sqrt{6} \, \text{куб. см} ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с данными параметрами составляет ( 12 \sqrt{6} ) кубических сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту пирамиды. Для этого можем воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим высоту пирамиды за h. Тогда можем составить уравнение:

cos(30°) = h / боковое ребро cos(30°) = h / 6 h = 6 cos(30°) h = 6 √3 / 2 h = 3√3

Теперь можем найти объем пирамиды, используя формулу:

V = (1/3) S_основания h

S_основания = 6^2 = 36

V = (1/3) 36 3√3 V = 12√3

Ответ: объем пирамиды равен 12√3 кубических сантиметров.