Даны точки A(1;3) ; B(4;7) ; C(-1;-1) ; D(7;5) Найдите скалярное произведениеивекторов AB*CD и угол...

Скалярное произведение векторов AB и CD равно произведению их координат: (4-1)(7-5) + (7-3)(-1-5) = 32 + 4(-6) = 6 - 24 = -18.

Для нахождения угла между векторами можно воспользоваться формулой cos(θ) = (ABCD) / (|AB| |CD|), где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

|AB| = √[(4-1)^2 + (7-3)^2] = √[3^2 + 4^2] = √(9 + 16) = √25 = 5, |CD| = √[(7-1)^2 + (5-(-1))^2] = √[6^2 + 6^2] = √(36 + 36) = √72 = 6√2.

cos(θ) = (-18) / (5 * 6√2) = -18 / (30√2) = -3 / (5√2).

Угол θ между векторами AB и CD можно найти как arccos(-3 / (5√2)).

Скалярное произведение векторов AB и CD вычисляется по формуле:

AB CD = ABx CDx + ABy * CDy

Где ABx, ABy - координаты вектора AB, а CDx, CDy - координаты вектора CD.

Для вектора AB: ABx = 4 - 1 = 3, ABy = 7 - 3 = 4 Для вектора CD: CDx = 7 - (-1) = 8, CDy = 5 - (-1) = 6

Тогда AB CD = 3 8 + 4 * 6 = 24 + 24 = 48

Теперь найдем угол между векторами AB и CD. Угол между двумя векторами вычисляется по формуле:

cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|)

Где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.

Для вектора AB: |AB| = √((4 - 1)^2 + (7 - 3)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 Для вектора CD: |CD| = √((7 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2) = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 48 / (5 * 10) = 48 / 50 = 0.96

Ответ: Скалярное произведение векторов AB и CD равно 48, угол между ними составляет примерно 15.3 градусов.

Для решения задачи сначала найдем векторы (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}).

Шаг 1: Найдите координаты векторов

Вектор (\overrightarrow{AB}) определяется как разность координат конечной точки B и начальной точки A:

[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (4 - 1, 7 - 3) = (3, 4) ]

Вектор (\overrightarrow{CD}) определяется как разность координат конечной точки D и начальной точки C:

[ \overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (7 - (-1), 5 - (-1)) = (8, 6) ]

Шаг 2: Найдите скалярное произведение векторов

Скалярное произведение (или внутреннее произведение) векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}) вычисляется по формуле:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 ]

Подставим координаты векторов:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = 24 + 24 = 48 ]

Шаг 3: Найдите длины векторов

Длина вектора (\overrightarrow{AB}) находится по формуле:

[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Длина вектора (\overrightarrow{CD}) находится аналогично:

[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 ]

Шаг 4: Найдите угол между векторами

Угол (\theta) между двумя векторами можно найти с использованием скалярного произведения и длин векторов:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} ]

Подставим известные значения:

[ \cos \theta = \frac{48}{5 \cdot 10} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25} ]

Теперь найдём угол (\theta):

[ \theta = \arccos\left(\frac{24}{25}\right) ]

Это значение можно вычислить с помощью калькулятора, чтобы найти угол в градусах или радианах.

Таким образом, скалярное произведение векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{CD}) равно 48, а угол между ними равен (\arccos\left(\frac{24}{25}\right)).