Для решения задачи о нахождении косинуса угла между векторами AB и CD сначала найдем координаты этих векторов, используя координаты точек A, B, C и D.
Координаты вектора AB можно найти по формуле:
[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) ]
Подставляя значения, получаем:
[ \vec{AB} = (-3 - 1, -1 + 1, 0 + 4) = (-4, 0, 4) ]
Координаты вектора CD можно найти аналогичным образом:
[ \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) ]
Подставляем значения:
[ \vec{CD} = (2 + 1, -3 - 2, 1 - 5) = (3, -5, -4) ]
Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами (\vec{AB}) и (\vec{CD}), используем формулу:
[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} ]
где (\vec{AB} \cdot \vec{CD}) — скалярное произведение векторов, а (|\vec{AB}|) и (|\vec{CD}|) — их длины (модули).
Скалярное произведение векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}) равно:
[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-4) \cdot 3 + 0 \cdot (-5) + 4 \cdot (-4) = -12 + 0 - 16 = -28 ]
Длины векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}) равны:
[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]
[ |\vec{CD}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]
Таким образом, косинус угла между векторами равен:
[ \cos(\theta) = \frac{-28}{(4\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{-28}{40} = -0.7 ]
Ответ: косинус угла между векторами AB и CD равен -0.7.