Даны координаты точек: A(1;-1;-4), B(-3;-1;0), C(-1;2;5), D(2;-3;1). Найдите косинус угла между векторами AB и СD !Пожалуйста с решением! спасибо
Даны координаты точек: A(1;-1;-4), B(-3;-1;0), C(-1;2;5), D(2;-3;1). Найдите косинус угла между векторами AB и СD !Пожалуйста с решением! спасибо
Для того чтобы найти косинус угла между векторами AB и CD, нужно воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
cos(θ) = (AB CD) / (|AB| |CD|),
где AB и CD - вектора, * - операция скалярного произведения векторов, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно.
Для начала найдем вектора AB и CD:
AB = B - A = (-3 - 1; -1 - (-1); 0 - (-4)) = (-4; 0; 4), CD = D - C = (2 - (-1); -3 - 2; 1 - 5) = (3; -5; -4).
Теперь найдем скалярное произведение векторов AB и CD:
AB CD = (-4 3) + (0 -5) + (4 -4) = -12 + 0 - 16 = -28.
Теперь найдем длины векторов AB и CD:
|AB| = √((-4)^2 + 0^2 + 4^2) = √(16 + 0 + 16) = √32, |CD| = √(3^2 + (-5)^2 + (-4)^2) = √(9 + 25 + 16) = √50.
Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами:
cos(θ) = -28 / (√32 √50) ≈ -28 / (5.6569 7.0711) ≈ -28 / 40 ≈ -0.7.
Таким образом, косинус угла между векторами AB и CD примерно равен -0.7.
Для решения задачи о нахождении косинуса угла между векторами AB и CD сначала найдем координаты этих векторов, используя координаты точек A, B, C и D.
Координаты вектора AB можно найти по формуле: [ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) ] Подставляя значения, получаем: [ \vec{AB} = (-3 - 1, -1 + 1, 0 + 4) = (-4, 0, 4) ]
Координаты вектора CD можно найти аналогичным образом: [ \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) ] Подставляем значения: [ \vec{CD} = (2 + 1, -3 - 2, 1 - 5) = (3, -5, -4) ]
Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами (\vec{AB}) и (\vec{CD}), используем формулу: [ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} ] где (\vec{AB} \cdot \vec{CD}) — скалярное произведение векторов, а (|\vec{AB}|) и (|\vec{CD}|) — их длины (модули).
Скалярное произведение векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}) равно: [ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-4) \cdot 3 + 0 \cdot (-5) + 4 \cdot (-4) = -12 + 0 - 16 = -28 ]
Длины векторов (\vec{AB}) и (\vec{CD}) равны: [ |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 0 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ] [ |\vec{CD}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]
Таким образом, косинус угла между векторами равен: [ \cos(\theta) = \frac{-28}{(4\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{-28}{40} = -0.7 ]
Ответ: косинус угла между векторами AB и CD равен -0.7.
