Дано а= 2i - j +4k и b = i+ 3k Найти скалярное произведение a·(b-3 a)

Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

Векторы:
[ \mathbf{a} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k} ]
[ \mathbf{b} = \mathbf{i} + 3\mathbf{k} ]

Нужно найти скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - 3\mathbf{a}) ).

Шаг 1. Найдём выражение для ( \mathbf{b} - 3\mathbf{a} ).

1. Умножим вектор ( \mathbf{a} ) на 3:
   [ 3\mathbf{a} = 3(2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}) = 6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 12\mathbf{k}. ]

2. Вычтем ( 3\mathbf{a} ) из ( \mathbf{b} ):
   [ \mathbf{b} - 3\mathbf{a} = (\mathbf{i} + 3\mathbf{k}) - (6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 12\mathbf{k}). ]
   Выполним вычитание покоординатно:
   По ( \mathbf{i} ): ( 1 - 6 = -5 ),
   По ( \mathbf{j} ): ( 0 - (-3) = 3 ),
   По ( \mathbf{k} ): ( 3 - 12 = -9 ).

Значит:
[ \mathbf{b} - 3\mathbf{a} = -5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 9\mathbf{k}. ]

Шаг 2. Найдём скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - 3\mathbf{a}) ).

Скалярное произведение двух векторов ( \mathbf{u} = u_1\mathbf{i} + u_2\mathbf{j} + u_3\mathbf{k} ) и ( \mathbf{v} = v_1\mathbf{i} + v_2\mathbf{j} + v_3\mathbf{k} ) рассчитывается по формуле:
[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. ]

В данном случае:
[ \mathbf{a} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}, ]
[ \mathbf{b} - 3\mathbf{a} = -5\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 9\mathbf{k}. ]

Теперь найдём координаты:
[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - 3\mathbf{a}) = (2)(-5) + (-1)(3) + (4)(-9). ]

Вычислим каждый член:
[ (2)(-5) = -10, \quad (-1)(3) = -3, \quad (4)(-9) = -36. ]

Сложим их:
[ -10 - 3 - 36 = -49. ]

Ответ:

[ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - 3\mathbf{a}) = -49. ]

Чтобы найти скалярное произведение ( a \cdot (b - 3a) ), начнем с вычисления вектора ( b - 3a ).

1. Найдем ( 3a ): [ a = 2i - j + 4k ] [ 3a = 3(2i - j + 4k) = 6i - 3j + 12k ]

2. Теперь найдем ( b - 3a ): [ b = i + 3k ] [ b - 3a = (i + 3k) - (6i - 3j + 12k) ] [ = i - 6i + 3j + 3k - 12k ] [ = -5i + 3j - 9k ]

3. Теперь найдем скалярное произведение ( a \cdot (b - 3a) ): [ a = 2i - j + 4k ] [ b - 3a = -5i + 3j - 9k ] Скалярное произведение ( a \cdot (b - 3a) ) вычисляется по формуле: [ a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ] где ( a = (a_1, a_2, a_3) ) и ( b = (b_1, b_2, b_3) ).

   Подставим значения: [ a \cdot (b - 3a) = (2)(-5) + (-1)(3) + (4)(-9) ] [ = -10 - 3 - 36 ] [ = -49 ]

Таким образом, скалярное произведение ( a \cdot (b - 3a) ) равно ( -49 ).

Сначала найдем вектор ( b - 3a ).

1. Вычислим ( 3a ): [ 3a = 3(2i - j + 4k) = 6i - 3j + 12k ]

2. Теперь найдем ( b - 3a ): [ b = i + 3k ] [ b - 3a = (i + 3k) - (6i - 3j + 12k) = i - 6i + 3j + 3k - 12k = -5i + 3j - 9k ]

Теперь найдем скалярное произведение ( a \cdot (b - 3a) ): [ a = 2i - j + 4k ] [ b - 3a = -5i + 3j - 9k ]

Скалярное произведение: [ a \cdot (b - 3a) = (2)(-5) + (-1)(3) + (4)(-9) ] [ = -10 - 3 - 36 = -49 ]

Ответ: ( -49 )