Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15...

Пусть $n$ — количество внуков, а $k$ — количество конфет у бабушки.

Из условия задачи следует, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы ровно разделить между внуками. Это можно записать уравнением: $k+15\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ То есть: $k+15=mn$ где $m$ — некоторое целое число.

Также из условия задачи следует, что если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Это можно записать следующим уравнением: $k+9\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ То есть: $k+9=qn+1$ где $q$ — некоторое целое число.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. $k+15=mn$
2. $k+9=qn+1$

Решим систему уравнений методом вычитания второго уравнения из первого: $(k+15)-(k+9)=mn-(qn+1)$ $15-9=mn-qn-1$ $6=(m-q)n-1$ $7=(m-q)n$

Отсюда видно, что $n$ должно быть делителем числа 7. Единственные делители числа 7 — это 1 и 7.

1. Если $n=1$: $7=(m-q)\cdot 1$ $m-q=7$ Но если $n=1$, то это не имеет смысла в контексте задачи, так как у бабушки не может быть только один внук $иначеуравнение(k+9\equiv 1(\mathrm{mod}1)$ не будет иметь смысла).

2. Если $n=7$: $7=(m-q)\cdot 7$ $m-q=1$

Теперь убедимся, что это действительно решение: Если $n=7$, то: $k+15=7m$ $k+9=7q+1$

Подставим $m=q+1$ в первое уравнение: $k+15=7(q+1)$ $k+15=7q+7$ $k=7q-8$

Подставим это значение $k$ во второе уравнение: $7q-8+9=7q+1$ $7q+1=7q+1$

Таким образом, оба уравнения выполняются при $n=7$.

Следовательно, у бабушки 7 внуков.

Пусть количество конфет, которые у бабушки, равно N, а количество внуков равно M.

Из условия задачи мы знаем, что N делится на M без остатка $еслибыбылона15штукбольше$ и N+9 делится на M без остатка $еслибыбылона9штукбольше$.

Таким образом, мы можем записать систему уравнений: 1) N = k1M $гдеk1-некотороецелоечисло$ 2) N+9 = k2M $гдеk2-другоецелоечисло$

Вычитаем уравнение 1 из уравнения 2: N + 9 - N = k2M - k1M 9 = $k2-k1$*M

Так как M - целое число, а 9 - делится на 3 и на 1, то k2 - k1 = 1 или 3.

Если k2 - k1 = 1, то M = 9, а N = 9*9 = 81. Таким образом, у бабушки 9 внуков.

Если k2 - k1 = 3, то M = 3, а N = 3*27 = 81. Таким образом, у бабушки 3 внука.

Итак, у бабушки либо 3, либо 9 внуков.