Бабушка решила разделить конфеты между внуками поровну. Она обнаружила, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы разделить поровну. А если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Сколько внуков у бабушки?
Пусть ( n ) — количество внуков, а ( k ) — количество конфет у бабушки.
Из условия задачи следует, что если бы конфет было на 15 штук больше, то их можно было бы ровно разделить между внуками. Это можно записать уравнением: [ k + 15 \equiv 0 \pmod{n} ] То есть: [ k + 15 = mn ] где ( m ) — некоторое целое число.
Также из условия задачи следует, что если бы конфет было на 9 штук больше, то после деления поровну осталась бы одна лишняя конфета. Это можно записать следующим уравнением: [ k + 9 \equiv 1 \pmod{n} ] То есть: [ k + 9 = qn + 1 ] где ( q ) — некоторое целое число.
Теперь у нас есть две системы уравнений:
Решим систему уравнений методом вычитания второго уравнения из первого: [ (k + 15) - (k + 9) = mn - (qn + 1) ] [ 15 - 9 = mn - qn - 1 ] [ 6 = (m - q)n - 1 ] [ 7 = (m - q)n ]
Отсюда видно, что ( n ) должно быть делителем числа 7. Единственные делители числа 7 — это 1 и 7.
Если ( n = 1 ): [ 7 = (m - q) \cdot 1 ] [ m - q = 7 ] Но если ( n = 1 ), то это не имеет смысла в контексте задачи, так как у бабушки не может быть только один внук (иначе уравнение ( k + 9 \equiv 1 \pmod{1} ) не будет иметь смысла).
Если ( n = 7 ): [ 7 = (m - q) \cdot 7 ] [ m - q = 1 ]
Теперь убедимся, что это действительно решение: Если ( n = 7 ), то: [ k + 15 = 7m ] [ k + 9 = 7q + 1 ]
Подставим ( m = q + 1 ) в первое уравнение: [ k + 15 = 7(q + 1) ] [ k + 15 = 7q + 7 ] [ k = 7q - 8 ]
Подставим это значение ( k ) во второе уравнение: [ 7q - 8 + 9 = 7q + 1 ] [ 7q + 1 = 7q + 1 ]
Таким образом, оба уравнения выполняются при ( n = 7 ).
Следовательно, у бабушки 7 внуков.
Пусть количество конфет, которые у бабушки, равно N, а количество внуков равно M.
Из условия задачи мы знаем, что N делится на M без остатка (если бы было на 15 штук больше) и N+9 делится на M без остатка (если бы было на 9 штук больше).
Таким образом, мы можем записать систему уравнений: 1) N = k1M (где k1 - некоторое целое число) 2) N+9 = k2M (где k2 - другое целое число)
Вычитаем уравнение 1 из уравнения 2: N + 9 - N = k2M - k1M 9 = (k2 - k1)*M
Так как M - целое число, а 9 - делится на 3 и на 1, то k2 - k1 = 1 или 3.
Если k2 - k1 = 1, то M = 9, а N = 9*9 = 81. Таким образом, у бабушки 9 внуков.
Если k2 - k1 = 3, то M = 3, а N = 3*27 = 81. Таким образом, у бабушки 3 внука.
Итак, у бабушки либо 3, либо 9 внуков.
