A {4;-3;-4}, b {-2;4;-3} будут ли коллинеарными векторы c=4a-2b и b=2a - b

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы $\mathbf{c}=4\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}=2\mathbf{a}-\mathbf{b}$, сначала найдем их координаты.

Даны векторы: $\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}4-3-4\end{array}\right)$ $\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}-24-3\end{array}\right)$

Найдем координаты вектора $\mathbf{c}$: $\mathbf{c}=4\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ $4\mathbf{a}=4\left(\begin{array}{c}4-3-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16-12-16\end{array}\right)$ $-2\mathbf{b}=-2\left(\begin{array}{c}-24-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-86\end{array}\right)$ $\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}16-12-16\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4-86\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}20-20-10\end{array}\right)$

Теперь найдем координаты вектора $\mathbf{d}$: $\mathbf{d}=2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ $2\mathbf{a}=2\left(\begin{array}{c}4-3-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8-6-8\end{array}\right)$ $\mathbf{d}=\left(\begin{array}{c}8-6-8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-24-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8+2-6-4-8+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10-10-5\end{array}\right)$

Теперь мы имеем координаты векторов $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$: $\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}20-20-10\end{array}\right)$ $\mathbf{d}=\left(\begin{array}{c}10-10-5\end{array}\right)$

Проверим, являются ли векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ коллинеарными. Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. То есть, должна существовать такая константа $k$, что: $\mathbf{c}=k\mathbf{d}$

Посмотрим, есть ли такая константа: $\left(\begin{array}{c}20-20-10\end{array}\right)=k\left(\begin{array}{c}10-10-5\end{array}\right)$

Рассмотрим каждую координату по отдельности: $20=k\cdot 10\Rightarrow k=2$ $-20=k\cdot (-10)\Rightarrow k=2$ $-10=k\cdot (-5)\Rightarrow k=2$

Во всех трёх уравнениях $k$ равно 2. Это означает, что векторы $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ действительно коллинеарны.

Ответ: Да, векторы $\mathbf{c}=4\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ и $\mathbf{d}=2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ являются коллинеарными.

Для того чтобы проверить, будут ли векторы c=4a-2b и d=2a-b коллинеарными, необходимо убедиться, что они параллельны или сонаправлены. Для этого нужно убедиться, что существует такое число k, что вектор c=k*d.

Вычислим вектор c=4a-2b: c=4{4;-3;-4}-2{-2;4;-3} c={16;-12;-16} - {-4;8;6} c={16+4; -12-8; -16-6} c={20;-20;-22}

Вычислим вектор d=2a-b: d=2{4;-3;-4}-{2;4;-3} d={8;-6;-8} - {2;4;-3} d={8-2; -6-4; -8+3} d={6;-10;-5}

Теперь найдем число k, для которого c=kd: 20=6k k=20/6 k=10/3

Таким образом, векторы c и d коллинеарны, так как существует число k=10/3, для которого c=k*d.