A {4;-3;-4}, b {-2;4;-3} будут ли коллинеарными векторы c=4a-2b и b=2a - b

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы ( \mathbf{c} = 4\mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) и ( \mathbf{d} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} ), сначала найдем их координаты.

Даны векторы: [ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \ -3 \ -4 \end{pmatrix} ] [ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \ 4 \ -3 \end{pmatrix} ]

Найдем координаты вектора ( \mathbf{c} ): [ \mathbf{c} = 4\mathbf{a} - 2\mathbf{b} ] [ 4\mathbf{a} = 4 \begin{pmatrix} 4 \ -3 \ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \ -12 \ -16 \end{pmatrix} ] [ -2\mathbf{b} = -2 \begin{pmatrix} -2 \ 4 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ -8 \ 6 \end{pmatrix} ] [ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 16 \ -12 \ -16 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \ -8 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \ -20 \ -10 \end{pmatrix} ]

Теперь найдем координаты вектора ( \mathbf{d} ): [ \mathbf{d} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} ] [ 2\mathbf{a} = 2 \begin{pmatrix} 4 \ -3 \ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \ -6 \ -8 \end{pmatrix} ] [ \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 8 \ -6 \ -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \ 4 \ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 2 \ -6 - 4 \ -8 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \ -10 \ -5 \end{pmatrix} ]

Теперь мы имеем координаты векторов ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ): [ \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 20 \ -20 \ -10 \end{pmatrix} ] [ \mathbf{d} = \begin{pmatrix} 10 \ -10 \ -5 \end{pmatrix} ]

Проверим, являются ли векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ) коллинеарными. Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. То есть, должна существовать такая константа ( k ), что: [ \mathbf{c} = k\mathbf{d} ]

Посмотрим, есть ли такая константа: [ \begin{pmatrix} 20 \ -20 \ -10 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 10 \ -10 \ -5 \end{pmatrix} ]

Рассмотрим каждую координату по отдельности: [ 20 = k \cdot 10 \Rightarrow k = 2 ] [ -20 = k \cdot (-10) \Rightarrow k = 2 ] [ -10 = k \cdot (-5) \Rightarrow k = 2 ]

Во всех трёх уравнениях ( k ) равно 2. Это означает, что векторы ( \mathbf{c} ) и ( \mathbf{d} ) действительно коллинеарны.

Ответ: Да, векторы ( \mathbf{c} = 4\mathbf{a} - 2\mathbf{b} ) и ( \mathbf{d} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} ) являются коллинеарными.

Для того чтобы проверить, будут ли векторы c=4a-2b и d=2a-b коллинеарными, необходимо убедиться, что они параллельны или сонаправлены. Для этого нужно убедиться, что существует такое число k, что вектор c=k*d.

Вычислим вектор c=4a-2b: c=4{4;-3;-4}-2{-2;4;-3} c={16;-12;-16} - {-4;8;6} c={16+4; -12-8; -16-6} c={20;-20;-22}

Вычислим вектор d=2a-b: d=2{4;-3;-4}-{2;4;-3} d={8;-6;-8} - {2;4;-3} d={8-2; -6-4; -8+3} d={6;-10;-5}

Теперь найдем число k, для которого c=kd: 20=6k k=20/6 k=10/3

Таким образом, векторы c и d коллинеарны, так как существует число k=10/3, для которого c=k*d.