А $1;8;-2$, B $-5;4;-3$, C $1;-2;3$ а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD. б) На...

а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

Чтобы найти координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, можно использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах. Это означает, что середина диагонали $AC$ должна совпадать с серединой диагонали $BD$.

Сначала найдём координаты середины диагонали $AC$: $M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})$ где $A(1,8,-2$ ) и $C(1,-2,3$ ).

Координаты середины $M$: $M=(\frac{1+1}{2},\frac{8+(-2)}{2},\frac{-2+3}{2})=(1,3,0.5)$

Теперь найдём координаты середины диагонали $BD$. Пусть $D(x,y,z$ ). Координаты середины $M$: $M=(\frac{-5+x}{2},\frac{4+y}{2},\frac{-3+z}{2})$

Приравняем эти координаты к координатам середины $M$, полученной из диагонали $AC$: $\frac{-5+x}{2}=1$ $\frac{4+y}{2}=3$ $\frac{-3+z}{2}=0.5$

Решим эти уравнения:

1. $\frac{-5+x}{2}=1$ $-5+x=2$ $x=7$

2. $\frac{4+y}{2}=3$ $4+y=6$ $y=2$

3. $\frac{-3+z}{2}=0.5$ $-3+z=1$ $z=4$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны: $D(7,2,4)$

б) На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек $B$ и $C$.

Найдем точку на оси абсцисс, которая равноудалена от точек $B(-5,4,-3$ ) и $C(1,-2,3$ ). Обозначим эту точку как $P(x,0,0$ ).

Расстояние от точки $P$ до точки $B$: $PB=\sqrt{(x+5{)}^2+4^2+(-3{)}^2}$

Расстояние от точки $P$ до точки $C$: $PC=\sqrt{(x-1{)}^2+(-2{)}^2+3^2}$

Так как точка $P$ должно быть равноудалена от $B$ и $C$, то: $PB=PC$

Приравняем эти расстояния: $\sqrt{(x+5{)}^2+16+9}=\sqrt{(x-1{)}^2+4+9}$

Упростим: $\sqrt{(x+5{)}^2+25}=\sqrt{(x-1{)}^2+13}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: $(x+5{)}^2+25=(x-1{)}^2+13$

Раскроем скобки и упростим: $x^2+10x+25+25=x^2-2x+1+13$ $x^2+10x+50=x^2-2x+14$

Сократим $x^2$ с обеих сторон: $10x+50=-2x+14$

Перенесем все $x$ в одну сторону и все числа в другую: $10x+2x=14-50$ $12x=-36$ $x=-3$

Таким образом, точка на оси абсцисс, равноудаленная от точек $B$ и $C$, имеет координаты: $P(-3,0,0)$

а) Координаты вершины D параллелограмма ABCD можно найти с помощью формулы: D = B + C - A D = $-5;4;-3$ + $1;-2;3$ - $1;8;-2$ = $-5+1-1;4-2+8;-3+3+2$ = $-5;10;2$

б) Чтобы найти точку, равноудаленную от точек B и C на оси абсцисс, нужно найти среднее арифметическое их абсцисс: x = $x_B+x_C$ / 2 = $-5+1$ / 2 = -2.

а) Чтобы найти координаты вершины D, параллельной отрезку BC и равноудаленной от точек A и B, нужно сначала найти вектор AB $B-A=(-5-1;4-8;-3+2$ = $-6;-4;-1$) и вектор BC $C-B=(1+5;-2-4;3+3$ = $6;-6;6$). Затем найдем среднюю точку между A и B $(1-5$/2; $8+4$/2; $-2-3$/2) = $-2;6;-2.5$. Теперь нам нужно найти вектор, параллельный вектору AB и проходящий через середину AB.

Вектор AD = $-2;6;-2.5$ + $-6;-4;-1$ = $-8;2;-3.5$. Таким образом, координаты вершины D будут $-8;2;-3.5$.

б) Чтобы найти точку на оси абсцисс, равноудаленную от точек B и C, нужно найти среднюю точку между ними. Средняя точка между B и C $(-5+1$/2; $4-2$/2; $-3+3$/2) = $-2;1;0$. Эта точка находится на оси абсцисс и равноудалена от точек B и C.