А (1; 8; -2), B (-5; 4; -3), C (1;-2;3) а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD. б) На...

а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD.

Чтобы найти координаты вершины ( D ) параллелограмма ( ABCD ), можно использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме диагонали пересекаются в их серединах. Это означает, что середина диагонали ( AC ) должна совпадать с серединой диагонали ( BD ).

Сначала найдём координаты середины диагонали ( AC ): [ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) ] где ( A(1, 8, -2) ) и ( C(1, -2, 3) ).

Координаты середины ( M ): [ M = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{8 + (-2)}{2}, \frac{-2 + 3}{2} \right) = \left( 1, 3, 0.5 \right) ]

Теперь найдём координаты середины диагонали ( BD ). Пусть ( D(x, y, z) ). Координаты середины ( M ): [ M = \left( \frac{-5 + x}{2}, \frac{4 + y}{2}, \frac{-3 + z}{2} \right) ]

Приравняем эти координаты к координатам середины ( M ), полученной из диагонали ( AC ): [ \frac{-5 + x}{2} = 1 ] [ \frac{4 + y}{2} = 3 ] [ \frac{-3 + z}{2} = 0.5 ]

Решим эти уравнения:

1. ( \frac{-5 + x}{2} = 1 ) [ -5 + x = 2 ] [ x = 7 ]

2. ( \frac{4 + y}{2} = 3 ) [ 4 + y = 6 ] [ y = 2 ]

3. ( \frac{-3 + z}{2} = 0.5 ) [ -3 + z = 1 ] [ z = 4 ]

Таким образом, координаты вершины ( D ) равны: [ D(7, 2, 4) ]

б) На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек ( B ) и ( C ).

Найдем точку на оси абсцисс, которая равноудалена от точек ( B(-5, 4, -3) ) и ( C(1, -2, 3) ). Обозначим эту точку как ( P(x, 0, 0) ).

Расстояние от точки ( P ) до точки ( B ): [ PB = \sqrt{(x + 5)^2 + 4^2 + (-3)^2} ]

Расстояние от точки ( P ) до точки ( C ): [ PC = \sqrt{(x - 1)^2 + (-2)^2 + 3^2} ]

Так как точка ( P ) должно быть равноудалена от ( B ) и ( C ), то: [ PB = PC ]

Приравняем эти расстояния: [ \sqrt{(x + 5)^2 + 16 + 9} = \sqrt{(x - 1)^2 + 4 + 9} ]

Упростим: [ \sqrt{(x + 5)^2 + 25} = \sqrt{(x - 1)^2 + 13} ]

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней: [ (x + 5)^2 + 25 = (x - 1)^2 + 13 ]

Раскроем скобки и упростим: [ x^2 + 10x + 25 + 25 = x^2 - 2x + 1 + 13 ] [ x^2 + 10x + 50 = x^2 - 2x + 14 ]

Сократим ( x^2 ) с обеих сторон: [ 10x + 50 = -2x + 14 ]

Перенесем все ( x ) в одну сторону и все числа в другую: [ 10x + 2x = 14 - 50 ] [ 12x = -36 ] [ x = -3 ]

Таким образом, точка на оси абсцисс, равноудаленная от точек ( B ) и ( C ), имеет координаты: [ P(-3, 0, 0) ]

а) Координаты вершины D параллелограмма ABCD можно найти с помощью формулы: D = B + C - A D = (-5; 4; -3) + (1; -2; 3) - (1; 8; -2) = (-5 + 1 - 1; 4 - 2 + 8; -3 + 3 + 2) = (-5; 10; 2)

б) Чтобы найти точку, равноудаленную от точек B и C на оси абсцисс, нужно найти среднее арифметическое их абсцисс: x = (x_B + x_C) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -2.

а) Чтобы найти координаты вершины D, параллельной отрезку BC и равноудаленной от точек A и B, нужно сначала найти вектор AB (B-A = (-5-1; 4-8; -3+2) = (-6; -4; -1)) и вектор BC (C-B = (1+5; -2-4; 3+3) = (6; -6; 6)). Затем найдем среднюю точку между A и B ((1-5)/2; (8+4)/2; (-2-3)/2) = (-2; 6; -2.5). Теперь нам нужно найти вектор, параллельный вектору AB и проходящий через середину AB.

Вектор AD = (-2; 6; -2.5) + (-6; -4; -1) = (-8; 2; -3.5). Таким образом, координаты вершины D будут (-8; 2; -3.5).

б) Чтобы найти точку на оси абсцисс, равноудаленную от точек B и C, нужно найти среднюю точку между ними. Средняя точка между B и C ((-5+1)/2; (4-2)/2; (-3+3)/2) = (-2; 1; 0). Эта точка находится на оси абсцисс и равноудалена от точек B и C.