(4√2)cos^2(15pi/8)-2√2

Для решения данного выражения необходимо разобраться с каждой его частью.

1. Упростим косинус:

   Выражение (\cos^2(15\pi/8)) можно упростить следующим образом. Сначала найдем (\cos(15\pi/8)).

   Угол (15\pi/8) в радианах превышает (2\pi), что соответствует полному кругу. Поэтому сначала необходимо перевести этот угол в допустимый диапазон, вычтя (2\pi):

   [ 15\pi/8 - 2\pi = 15\pi/8 - 16\pi/8 = -\pi/8 ]

   Теперь нужно найти (\cos(-\pi/8)). Поскольку косинус является четной функцией, то (\cos(-\pi/8) = \cos(\pi/8)).

2. Значение (\cos(\pi/8)):

   Чтобы найти (\cos(\pi/8)), можно использовать формулу половинного угла:

   [ \cos(\theta/2) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}} ]

   Подставим (\theta = \pi/4), так как (\pi/8) это половина от (\pi/4):

   [ \cos(\pi/8) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\pi/4)}{2}} ]

   (\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2), так что:

   [ \cos(\pi/8) = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}/2}{2}} ]

   Упростим:

   [ \cos(\pi/8) = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} ]

3. Вычислим (\cos^2(\pi/8)):

   [ \cos^2(\pi/8) = \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\right)^2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} ]

4. Подставим в исходное выражение:

   Теперь вернемся к исходному выражению:

   [ (4\sqrt{2})\cos^2(15\pi/8) - 2\sqrt{2} ]

   Подставим значение (\cos^2(15\pi/8) = \cos^2(\pi/8) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}):

   [ (4\sqrt{2})\left(\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\right) - 2\sqrt{2} ]

   Упростим:

   [ \sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) - 2\sqrt{2} ]

   Раскроем скобки:

   [ 2\sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{2} ]

   Останется:

   [ 2 ]

Таким образом, значение выражения равно (2).

Для того чтобы вычислить данное выражение, сначала найдем значение косинуса угла 15π/8.

15π/8 = 2π + π/8

Так как косинус является периодической функцией с периодом 2π, то косинус угла 15π/8 равен косинусу угла π/8.

cos(π/8) = √(2+√2)/2

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

(4√2)cos^2(15π/8) - 2√2 = (4√2)(√(2+√2)/2)^2 - 2√2 = 4√2 (2+√2)/4 - 2√2 = 2√2 (2+√2) - 2√2 = 4√2 + 2√2^2 - 2√2 = 4√2 + 4 - 2√2 = 4 + 2√2

Итак, результат выражения (4√2)cos^2(15π/8) - 2√2 равен 4 + 2√2.