$4\surd 2$cos^2$15pi/8$-2√2

Для решения данного выражения необходимо разобраться с каждой его частью.

1. Упростим косинус:

   Выражение ${\cos }^2(15\pi /8$) можно упростить следующим образом. Сначала найдем $\cos (15\pi /8$).

   Угол $15\pi /8$ в радианах превышает $2\pi$, что соответствует полному кругу. Поэтому сначала необходимо перевести этот угол в допустимый диапазон, вычтя $2\pi$:

   $15\pi /8-2\pi =15\pi /8-16\pi /8=-\pi /8$

   Теперь нужно найти $\cos (-\pi /8$). Поскольку косинус является четной функцией, то $\cos (-\pi /8$ = \cos$\pi /8$).

2. Значение $\cos (\pi /8$):

   Чтобы найти $\cos (\pi /8$), можно использовать формулу половинного угла:

   $\cos (\theta /2)=\sqrt{\frac{1+\cos (\theta )}{2}}$

   Подставим $\theta =\pi /4$, так как $\pi /8$ это половина от $\pi /4$:

   $\cos (\pi /8)=\sqrt{\frac{1+\cos (\pi /4)}{2}}$

   $\cos (\pi /4$ = \sqrt{2}/2), так что:

   $\cos (\pi /8)=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}/2}{2}}$

   Упростим:

   $\cos (\pi /8)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

3. Вычислим ${\cos }^2(\pi /8$):

   ${\cos }^2(\pi /8)={\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)}^2=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

4. Подставим в исходное выражение:

   Теперь вернемся к исходному выражению:

   $(4\sqrt{2}){\cos }^2(15\pi /8)-2\sqrt{2}$

   Подставим значение ${\cos }^2(15\pi /8$ = \cos^2$\pi /8$ = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}):

   $(4\sqrt{2})\left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)-2\sqrt{2}$

   Упростим:

   $\sqrt{2}(2+\sqrt{2})-2\sqrt{2}$

   Раскроем скобки:

   $2\sqrt{2}+2-2\sqrt{2}$

   Останется:

   $2$

Таким образом, значение выражения равно $2$.

Для того чтобы вычислить данное выражение, сначала найдем значение косинуса угла 15π/8.

15π/8 = 2π + π/8

Так как косинус является периодической функцией с периодом 2π, то косинус угла 15π/8 равен косинусу угла π/8.

cos$\pi /8$ = √$2+\surd 2$/2

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$4\surd 2$cos^2$15\pi /8$ - 2√2 = $4\surd 2$$\surd (2+\surd 2$/2)^2 - 2√2 = 4√2 $2+\surd 2$/4 - 2√2 = 2√2 $2+\surd 2$ - 2√2 = 4√2 + 2√2^2 - 2√2 = 4√2 + 4 - 2√2 = 4 + 2√2

Итак, результат выражения $4\surd 2$cos^2$15\pi /8$ - 2√2 равен 4 + 2√2.