2)Дано уравнение $1-cos2x-sinx$/$cosx-1$=0. а)Решите уравнение. б)Укажите его корни, принадлежащие интервалу...

а) Уравнение $1-cos2x-sinx$/$cosx-1$=0 эквивалентно уравнению 1-cos2x-sinx=0. б) Корни уравнения, принадлежащие интервалу $5\pi /2;5\pi$ - x=3π.

а) Для начала преобразуем уравнение: $1-cos2x-sinx$/$cosx-1$ = 0 $1-cos2x-sinx$ = 0 1 - cos2x - sinx = 0 1 - $1-2si{n}^{2}x$ - sinx = 0 2sin^2x + sinx - 1 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение: D = 1 - 42$-1$ = 9 sinx = $-1+/-\surd 9$ / 4 sinx = $-1+/-3$ / 4

Два возможных значения sinx: 1) sinx = 1/2 2) sinx = -1

б) Проверим корни уравнения на принадлежность интервалу $5\pi /2;5\pi$: 1) sin$5\pi /2$ = 1, sin$5\pi$ = 0 Корень sinx = 1/2 принадлежит интервалу $5\pi /2;5\pi$.

2) sin$5\pi /2$ = -1, sin$5\pi$ = 0 Корень sinx = -1 не принадлежит интервалу $5\pi /2;5\pi$.

Итак, корень уравнения, принадлежащий интервалу $5\pi /2;5\pi$, равен sinx = 1/2.

Рассмотрим уравнение $(1-\cos 2x-\sin x$ / $\cos x-1$ = 0).

Шаг 1: Найдем ОДЗ $областьдопустимыхзначений$

Для начала определим область допустимых значений $ОДЗ$ этого уравнения. ОДЗ определяется тем, что знаменатель не должен быть равен нулю: $\cos x-1\ne 0$ $\cos x\ne 1$ Это происходит, когда $x\ne 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Шаг 2: Преобразуем выражение в числителе

Рассмотрим числитель $1-\cos 2x-\sin x$.

Используем тригонометрическую идентичность для косинуса двойного угла: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$

Подставим эту идентичность: $1-(2{\cos }^{2}x-1)-\sin x$ $1-2{\cos }^{2}x+1-\sin x$ $2-2{\cos }^{2}x-\sin x$ $2(1-{\cos }^{2}x)-\sin x$

Известно, что $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$: $2{\sin }^{2}x-\sin x$

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Теперь уравнение принимает вид: $\frac{2{\sin }^{2}x-\sin x}{\cos x-1}=0$

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю: $2{\sin }^{2}x-\sin x=0$

Шаг 4: Решим уравнение числителя

Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin x-1)=0$

Это уравнение имеет два решения:

1. $\sin x=0$
2. $\sin x=\frac{1}{2}$

Шаг 5: Найдем значения $x$

Решение 1: $\sin x=0$

$x=k\pi$ где $k$ — целое число.

Учитывая ОДЗ $(x\ne 2k\pi$), исключим значения $x=2k\pi$.

Решение 2: $\sin x=\frac{1}{2}$

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ где $k$ — целое число.

Шаг 6: Найдем корни на интервале $(5\pi /2;5\pi$ )

Корни для $\sin x=0$

$x=k\pi$ Проверим значения $x$ на интервале $(5\pi /2;5\pi$ ): $k=3$ $x=3\pi$ попадает на интервал $(5\pi /2;5\pi$ ).

Корни для $\sin x=\frac{1}{2}$

Проверим значения $x$ на интервале $(5\pi /2;5\pi$ ): $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ $k=2\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{25\pi }{6}$ попадает на интервал $(5\pi /2;5\pi$ ).

$x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ $k=2\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{29\pi }{6}$ попадает на интервал $(5\pi /2;5\pi$ ).

Ответ:

а) Решения уравнения: $x=k\pi$ $где(k\ne 2m$), $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$.

б) Корни, принадлежащие интервалу $(5\pi /2;5\pi$): $x=3\pi ,\frac{25\pi }{6},\frac{29\pi }{6}$.