2)Дано уравнение (1-cos2x-sinx)/(cosx-1)=0. а)Решите уравнение. б)Укажите его корни, принадлежащие интервалу...

а) Уравнение (1-cos2x-sinx)/(cosx-1)=0 эквивалентно уравнению 1-cos2x-sinx=0. б) Корни уравнения, принадлежащие интервалу (5π/2;5π) - x=3π.

а) Для начала преобразуем уравнение: (1-cos2x-sinx)/(cosx-1) = 0 (1-cos2x-sinx) = 0 1 - cos2x - sinx = 0 1 - (1 - 2sin^2x) - sinx = 0 2sin^2x + sinx - 1 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение: D = 1 - 42(-1) = 9 sinx = (-1 +/- √9) / 4 sinx = (-1 +/- 3) / 4

Два возможных значения sinx: 1) sinx = 1/2 2) sinx = -1

б) Проверим корни уравнения на принадлежность интервалу (5π/2;5π): 1) sin(5π/2) = 1, sin(5π) = 0 Корень sinx = 1/2 принадлежит интервалу (5π/2;5π).

2) sin(5π/2) = -1, sin(5π) = 0 Корень sinx = -1 не принадлежит интервалу (5π/2;5π).

Итак, корень уравнения, принадлежащий интервалу (5π/2;5π), равен sinx = 1/2.

Рассмотрим уравнение ((1 - \cos 2x - \sin x) / (\cos x - 1) = 0).

Шаг 1: Найдем ОДЗ (область допустимых значений)

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения. ОДЗ определяется тем, что знаменатель не должен быть равен нулю: [ \cos x - 1 \neq 0 ] [ \cos x \neq 1 ] Это происходит, когда ( x \neq 2k\pi ), где ( k ) — целое число.

Шаг 2: Преобразуем выражение в числителе

Рассмотрим числитель ( 1 - \cos 2x - \sin x ).

Используем тригонометрическую идентичность для косинуса двойного угла: [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 ]

Подставим эту идентичность: [ 1 - (2\cos^2 x - 1) - \sin x ] [ 1 - 2\cos^2 x + 1 - \sin x ] [ 2 - 2\cos^2 x - \sin x ] [ 2(1 - \cos^2 x) - \sin x ]

Известно, что ( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x ): [ 2\sin^2 x - \sin x ]

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Теперь уравнение принимает вид: [ \frac{2\sin^2 x - \sin x}{\cos x - 1} = 0 ]

Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен быть равен нулю: [ 2\sin^2 x - \sin x = 0 ]

Шаг 4: Решим уравнение числителя

Вынесем (\sin x) за скобки: [ \sin x (2\sin x - 1) = 0 ]

Это уравнение имеет два решения:

1. (\sin x = 0)
2. (\sin x = \frac{1}{2})

Шаг 5: Найдем значения ( x )

Решение 1: (\sin x = 0)

[ x = k\pi ] где ( k ) — целое число.

Учитывая ОДЗ (( x \neq 2k\pi )), исключим значения ( x = 2k\pi ).

Решение 2: (\sin x = \frac{1}{2})

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ] или [ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] где ( k ) — целое число.

Шаг 6: Найдем корни на интервале ( (5\pi/2; 5\pi) )

Корни для (\sin x = 0)

[ x = k\pi ] Проверим значения ( x ) на интервале ( (5\pi/2; 5\pi) ): [ k = 3 ] [ x = 3\pi ] попадает на интервал ( (5\pi/2; 5\pi) ).

Корни для (\sin x = \frac{1}{2})

Проверим значения ( x ) на интервале ( (5\pi/2; 5\pi) ): [ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ] [ k = 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} ] попадает на интервал ( (5\pi/2; 5\pi) ).

[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ] [ k = 2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} ] попадает на интервал ( (5\pi/2; 5\pi) ).

Ответ:

а) Решения уравнения: ( x = k\pi ) (где ( k \neq 2m )), ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ), ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ).

б) Корни, принадлежащие интервалу ((5\pi/2; 5\pi)): [ x = 3\pi, \frac{25\pi}{6}, \frac{29\pi}{6} ].