2cos^2x+5sinx+5=0 Решите пожалуйста!

Для решения данного уравнения нужно использовать тригонометрическую замену. Подставляем cos^2x = 1-sin^2x и получаем квадратное уравнение относительно sinx. Решив его, найдем значения sinx и, следовательно, x.

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом замены переменных. Обозначим cosx = t. Тогда уравнение примет вид:

2t^2 + 5√(1-t^2) + 5 = 0

Преобразуем уравнение:

2t^2 + 5√(1-t^2) + 5 = 0 2t^2 + 5√(1-t^2) = -5 2t^2 = -5 - 5√(1-t^2) t^2 = -(5/2) - (5/2)√(1-t^2) (1-t^2)^2 = (5/2 + 5/2√(1-t^2))^2 1 - 2t^2 + t^4 = 25/4 + 25/2√(1-t^2) + 25/4(1-t^2) t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√(1-t^2) + 25/4 - 25/4t^2 t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√(1-t^2) + 25/4 - 25/4t^2 t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√(1-t^2) + 25/4 - 25/4t^2 t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√(1-t^2) + 25/4 - 25/4t^2

После решения данного уравнения найдем значения корня t и подставим их в уравнение cosx = t, чтобы найти x.

Для решения уравнения (2\cos^2(x) + 5\sin(x) + 5 = 0), сначала используем основное тригонометрическое тождество (\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)), чтобы выразить всё через (\sin(x)). Подставим это тождество в уравнение:

[2(1 - \sin^2(x)) + 5\sin(x) + 5 = 0.]

Раскроем скобки и упростим:

[2 - 2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 5 = 0,]

[ -2\sin^2(x) + 5\sin(x) + 7 = 0.]

Теперь умножим всё уравнение на -1, чтобы легче было решать квадратное уравнение:

[2\sin^2(x) - 5\sin(x) - 7 = 0.]

Обозначим (\sin(x) = t). Тогда наше уравнение принимает вид:

[2t^2 - 5t - 7 = 0.]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения (at^2 + bt + c = 0):

[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},]

где (a = 2), (b = -5) и (c = -7). Подставим эти значения в формулу:

[t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2},]

[t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4},]

[t = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{4},]

[t = \frac{5 \pm 9}{4}.]

Рассмотрим оба возможных значения (t):

1. (t = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5),
2. (t = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1).

Теперь вернемся к переменной (\sin(x)):

1. (\sin(x) = 3.5) – это значение не принадлежит диапазону ([-1, 1]), так как значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1.

2. (\sin(x) = -1) – это значение допустимо.

Рассмотрим (\sin(x) = -1). Значение синуса равно -1 только в точке (x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi), где (k) – любое целое число.

Таким образом, решением уравнения (2\cos^2(x) + 5\sin(x) + 5 = 0) является:

[x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.]