2cos^2x+5sinx+5=0 Решите пожалуйста!

Для решения данного уравнения нужно использовать тригонометрическую замену. Подставляем cos^2x = 1-sin^2x и получаем квадратное уравнение относительно sinx. Решив его, найдем значения sinx и, следовательно, x.

Для решения данного уравнения можно воспользоваться методом замены переменных. Обозначим cosx = t. Тогда уравнение примет вид:

2t^2 + 5√$1-t^2$ + 5 = 0

Преобразуем уравнение:

2t^2 + 5√$1-t^2$ + 5 = 0 2t^2 + 5√$1-t^2$ = -5 2t^2 = -5 - 5√$1-t^2$ t^2 = -$5/2$ - $5/2$√$1-t^2$ $1-t^2$^2 = $5/2+5/2\surd (1-t^2$)^2 1 - 2t^2 + t^4 = 25/4 + 25/2√$1-t^2$ + 25/4$1-t^2$ t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√$1-t^2$ + 25/4 - 25/4t^2 t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√$1-t^2$ + 25/4 - 25/4t^2 t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√$1-t^2$ + 25/4 - 25/4t^2 t^4 - 2t^2 + 1 = 25/4 + 25/2√$1-t^2$ + 25/4 - 25/4t^2

После решения данного уравнения найдем значения корня t и подставим их в уравнение cosx = t, чтобы найти x.

Для решения уравнения $2{\cos }^2(x$ + 5\sin$x$ + 5 = 0), сначала используем основное тригонометрическое тождество ${\cos }^2(x$ = 1 - \sin^2$x$), чтобы выразить всё через $\sin (x$). Подставим это тождество в уравнение:

$2(1-{\sin }^2(x))+5\sin (x)+5=0.$

Раскроем скобки и упростим:

$2-2{\sin }^2(x)+5\sin (x)+5=0,$

$-2{\sin }^2(x)+5\sin (x)+7=0.$

Теперь умножим всё уравнение на -1, чтобы легче было решать квадратное уравнение:

$2{\sin }^2(x)-5\sin (x)-7=0.$

Обозначим $\sin (x$ = t). Тогда наше уравнение принимает вид:

$2t^2-5t-7=0.$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения $a{t}^2+bt+c=0$:

$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$

где $a=2$, $b=-5$ и $c=-7$. Подставим эти значения в формулу:

$t=\frac{-(-5)\pm \sqrt{(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-7)}}{2\cdot 2},$

$t=\frac{5\pm \sqrt{25+56}}{4},$

$t=\frac{5\pm \sqrt{81}}{4},$

$t=\frac{5\pm 9}{4}.$

Рассмотрим оба возможных значения $t$:

1. $t=\frac{5+9}{4}=\frac{14}{4}=3.5$,
2. $t=\frac{5-9}{4}=\frac{-4}{4}=-1$.

Теперь вернемся к переменной $\sin (x$):

1. $\sin (x$ = 3.5) – это значение не принадлежит диапазону $[-1,1]$, так как значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1.

2. $\sin (x$ = -1) – это значение допустимо.

Рассмотрим $\sin (x$ = -1). Значение синуса равно -1 только в точке $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, где $k$ – любое целое число.

Таким образом, решением уравнения $2{\cos }^2(x$ + 5\sin$x$ + 5 = 0) является:

$x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$