Давайте рассмотрим задачу поэтапно.
1) Построение математической модели для V(t):
Объем воды в озере в момент времени ( t ), обозначаемый ( V(t) ), зависит от начального объема, поступающей воды и воды, уходящей через сток. Начальный объем воды в озере при ( t = 0 ) равен 30000 м³. За время ( t ) часов в озеро поступает дополнительный объем воды, который равен интегралу от функции ( S(t) = 10 + 4t ):
[
\int_0^t (10 + 4t) \, dt = \left[ 10t + 2t^2 \right]_0^t = 10t + 2t^2
]
При этом вода из озера уходит со скоростью 58 м³/ч, так что за ( t ) часов уйдет:
[
58t
]
Таким образом, объем воды в озере в момент времени ( t ) будет:
[
V(t) = 30000 + (10t + 2t^2) - 58t = 30000 - 48t + 2t^2
]
2) Расчет объема воды в озере при ( t = 6 ) и ( t = 16 ):
а) Для ( t = 6 ):
[
V(6) = 30000 - 48 \times 6 + 2 \times 6^2 = 30000 - 288 + 72 = 29884 \, \text{м}^3
]
б) Для ( t = 16 ):
[
V(16) = 30000 - 48 \times 16 + 2 \times 16^2 = 30000 - 768 + 512 = 29744 \, \text{м}^3
]
3) Объем воды в озере в конце дня при ( t = 24 ) без стока после ( t = 18 ):
Сначала найдем объем воды в озере в момент времени ( t = 18 ) (когда сток был еще активен):
[
V(18) = 30000 - 48 \times 18 + 2 \times 18^2 = 30000 - 864 + 648 = 29884 \, \text{м}^3
]
После ( t = 18 ) сток перекрыли, и вода поступала в озеро без убытка до ( t = 24 ). Объем поступившей воды с ( t = 18 ) до ( t = 24 ) равен:
[
\int{18}^{24} (10 + 4t) \, dt = \left[ 10t + 2t^2 \right]{18}^{24} = (10 \times 24 + 2 \times 24^2) - (10 \times 18 + 2 \times 18^2)
]
[
= (240 + 1152) - (180 + 648) = 1392 - 828 = 564 \, \text{м}^3
]
Таким образом, объем воды в озере в конце дня:
[
V(24) = V(18) + 564 = 29884 + 564 = 30448 \, \text{м}^3
]
Ответы:
1) ( V(t) = 30000 - 48t + 2t^2 )
2) а) 29884 м³, б) 29744 м³
3) 30448 м³
