1)В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того,...

1) Вероятность вынуть белый шар: 10/70 = 1/7; черный шар: 15/70 = 3/14; синий шар: 20/70 = 2/7; красный шар: 25/70 = 5/14; белый или черный шар: $10+15$/70 = 1/2; синий или красный шар: $20+25$/70 = 9/14; белый, черный или синий шар: $10+15+20$/70 = 3/7. 2) Вероятность вынуть из первого ящика белый шар: 2/12 = 1/6; из второго ящика белый шар: 8/12 = 2/3; оба шара белые: $1/6$*$2/3$ = 1/9. 3) Вероятность вынуть белый шар из первого ящика: 20/50 = 2/5; вероятность вынуть белый шар вообще: $20+10$/50 = 3/5; вероятность вынуть белый шар из первого ящика при условии, что он белый: $2/5$ / $3/5$ = 2/3.

1) Всего в урне 10 + 15 + 20 + 25 = 70 шаров.

• Вероятность вынуть белый шар: 10/70 = 1/7
• Вероятность вынуть черный шар: 15/70 = 3/14
• Вероятность вынуть синий шар: 20/70 = 2/7
• Вероятность вынуть красный шар: 25/70 = 5/14
• Вероятность вынуть белый или черный шар: $10+15$/70 = 25/70 = 5/14
• Вероятность вынуть синий или красный шар: $20+25$/70 = 45/70 = 9/14
• Вероятность вынуть белый, черный или синий шар: $10+15+20$/70 = 45/70 = 9/14

2) Вероятность вынуть из первого ящика белый шар: 2/12 = 1/6 Вероятность вынуть из второго ящика белый шар: 8/12 = 2/3 Тогда вероятность вынуть два белых шара: $1/6$ * $2/3$ = 1/9

3) Вероятность вынуть белый шар из первого ящика: 20/20 = 1 Вероятность вынуть белый шар из второго ящика: 10/20 = 1/2 Вероятность вынуть белый шар из третьего ящика: 0 Тогда общая вероятность вынуть белый шар: $1/3$ 1 + $1/3$ $1/2$ + $1/3$ * 0 = 1/3 + 1/6 = 1/2

Вероятность того, что шар вынут из первого ящика: $1/3$ / $1/2$ = 2/3

1) Рассмотрим первую задачу. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Сначала подсчитаем общее количество шаров в урне:

$10+15+20+25=70$

Теперь найдём вероятность для каждого из событий:

• Вероятность того, что вынутый шар будет белым:

$P(\text{белый})=\frac{\text{количество белых шаров}}{\text{общее количество шаров}}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\approx 0.1429$

• Вероятность того, что вынутый шар будет черным:

$P(\text{черный})=\frac{\text{количество черных шаров}}{\text{общее количество шаров}}=\frac{15}{70}=\frac{3}{14}\approx 0.2143$

• Вероятность того, что вынутый шар будет синим:

$P(\text{синий})=\frac{\text{количество синих шаров}}{\text{общее количество шаров}}=\frac{20}{70}=\frac{2}{7}\approx 0.2857$

• Вероятность того, что вынутый шар будет красным:

$P(\text{красный})=\frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}}=\frac{25}{70}=\frac{5}{14}\approx 0.3571$

Теперь найдём вероятность для объединенных событий:

• Вероятность того, что вынутый шар будет белым или черным:

$P(\text{белый или черный})=P(\text{белый})+P(\text{черный})=\frac{10}{70}+\frac{15}{70}=\frac{25}{70}=\frac{5}{14}\approx 0.3571$

• Вероятность того, что вынутый шар будет синим или красным:

$P(\text{синий или красный})=P(\text{синий})+P(\text{красный})=\frac{20}{70}+\frac{25}{70}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}\approx 0.6429$

• Вероятность того, что вынутый шар будет белым, черным или синим:

$P(\text{белый, черный или синий})=P(\text{белый})+P(\text{черный})+P(\text{синий})=\frac{10}{70}+\frac{15}{70}+\frac{20}{70}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}\approx 0.6429$

2) Рассмотрим вторую задачу. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найдём вероятность того, что оба шара белые.

• Вероятность того, что вынутый шар из первого ящика будет белым:

$P(\text{белый из первого ящика})=\frac{2}{2+10}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

• Вероятность того, что вынутый шар из второго ящика будет белым:

$P(\text{белый из второго ящика})=\frac{8}{8+4}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Так как события независимы, общая вероятность будет произведением вероятностей:

$P(\text{оба белые})=P(\text{белый из первого ящика})\times P(\text{белый из второго ящика})=\frac{1}{6}\times \frac{2}{3}=\frac{1\cdot 2}{6\cdot 3}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}\approx 0.1111$

3) Рассмотрим третью задачу. Имеются три одинаковых по виду ящика: в первом ящике 20 белых шаров, во втором 10 белых и 10 черных шаров, в третьем 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первого ящика.

Используем формулу Байеса для решения этой задачи. Сначала определим вероятности:

• Вероятность выбрать любой из ящиков равна:

$P(\text{выбрать ящик})=\frac{1}{3}$

• Условная вероятность вынуть белый шар из первого ящика:

$P(\text{белый | первый ящик})=\frac{20}{20}=1$

• Условная вероятность вынуть белый шар из второго ящика:

$P(\text{белый | второй ящик})=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$

• Условная вероятность вынуть белый шар из третьего ящика:

$P(\text{белый | третий ящик})=\frac{0}{20}=0$

Теперь найдём общую вероятность того, что вынут белый шар:

$P(\text{белый})=P(\text{белый | первый ящик})\cdot P(\text{первый ящик})+P(\text{белый | второй ящик})\cdot P(\text{второй ящик})+P(\text{белый | третий ящик})\cdot P(\text{третий ящик})$

$P(\text{белый})=1\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Теперь применим формулу Байеса для нахождения вероятности того, что шар вынут из первого ящика:

$P(\text{первый ящик | белый})=\frac{P(\text{белый | первый ящик})\cdot P(\text{первый ящик})}{P(\text{белый})}$

$P(\text{первый ящик | белый})=\frac{1\cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{1}=\frac{2}{3}\approx 0.6667$

Итак, вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика, составляет $\frac{2}{3}$ или примерно 0.6667.