1.сколько имеется четырехзначных чисел в записи которых есть только цифры 0,6,7,9: а)С повторением цифр...

а) С повторением цифр: Для первой позиции у нас есть 4 варианта $0,6,7,9$, для второй позиции также 4 варианта, для третьей позиции опять 4 варианта и для четвертой позиции также 4 варианта. Используя правило умножения, получаем общее количество четырехзначных чисел с повторением цифр: 444*4=256.

б) Без повторения цифр: Для первой позиции у нас есть 4 варианта $0,6,7,9$, для второй позиции осталось 3 варианта, для третьей позиции осталось 2 варианта и для четвертой позиции остался 1 вариант. Используя правило умножения, получаем общее количество четырехзначных чисел без повторения цифр: 432*1=24.

Рассмотрим два случая отдельно: когда цифры могут повторяться и когда цифры не могут повторяться.

а) С повторением цифр

Для четырехзначного числа, в котором могут повторяться цифры из множества {0, 6, 7, 9}, нам нужно учитывать, что первая цифра не может быть 0 $таккактогдачислонебудетчетырехзначным$.

• Первая цифра $тысячные$: Может быть любой из цифр 6, 7 или 9. То есть, у нас есть 3 возможных варианта.
• Вторая цифра $сотенные$: Может быть любой из цифр 0, 6, 7 или 9. То есть, 4 возможных варианта.
• Третья цифра $десятки$: Может быть любой из цифр 0, 6, 7 или 9. То есть, 4 возможных варианта.
• Четвертая цифра $единицы$: Может быть любой из цифр 0, 6, 7 или 9. То есть, 4 возможных варианта.

Таким образом, общее количество четырехзначных чисел с повторением цифр будет: $3\times 4\times 4\times 4=192$

б) Без повторения цифр

Для четырехзначного числа, в котором цифры не могут повторяться, также необходимо учесть, что первая цифра не может быть 0.

• Первая цифра $тысячные$: Может быть любой из цифр 6, 7 или 9. То есть, у нас есть 3 возможных варианта.
• Вторая цифра $сотенные$: Может быть любой из оставшихся 3 цифр $включая0,нобезпервойцифры$. То есть, 3 возможных варианта.
• Третья цифра $десятки$: Может быть любой из оставшихся 2 цифр. То есть, 2 возможных варианта.
• Четвертая цифра $единицы$: Будет оставшаяся 1 цифра.

Таким образом, общее количество четырехзначных чисел без повторения цифр будет: $3\times 3\times 2\times 1=18$

Итоги:

• Количество четырехзначных чисел с повторением цифр: 192
• Количество четырехзначных чисел без повторения цифр: 18