1)Найти точки графика функции f(x)=x^3+3 x^2, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс....

Для решения задачи нам нужно найти производную функции f(x) и приравнять её к нулю. Это потому, что касательная к графику функции параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда производная функции равна нулю (т.е. угловой коэффициент касательной, который равен производной, равен 0).

Часть 1: Функция f(x) = x³ + 3x²

1. Найдем производную функции: [ f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x. ]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ 3x^2 + 6x = 0. ] [ 3x(x + 2) = 0. ]

3. Решаем уравнение: [ 3x = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0. ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2. ]

4. Найдем соответствующие значения y: [ f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0. ] [ f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 = -8 + 12 = 4. ]

Итак, точки графика функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 ), в которых касательная параллельна оси абсцисс, это ( (0, 0) ) и ( (-2, 4) ).

Часть 2: Функция f(x) = x³ - 5x²

1. Найдем производную функции: [ f'(x) = (x^3 - 5x^2)' = 3x^2 - 10x. ]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: [ 3x^2 - 10x = 0. ] [ x(3x - 10) = 0. ]

3. Решаем уравнение: [ x = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 10 = 0. ] [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{10}{3}. ]

4. Найдем соответствующие значения y: [ f(0) = 0^3 - 5 \cdot 0^2 = 0. ] [ f\left(\frac{10}{3}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^3 - 5 \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{1000}{27} - \frac{500}{9} = \frac{1000 - 1500}{27} = -\frac{500}{27}. ]

Итак, точки графика функции ( f(x) = x^3 - 5x^2 ), в которых касательная параллельна оси абсцисс, это ( (0, 0) ) и ( \left(\frac{10}{3}, -\frac{500}{27}\right) ).

1) Для того чтобы найти точки графика функции f(x)=x^3+3x^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 + 6x

Затем приравняем производную к нулю и найдем точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс: 3x^2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 x = 0 и x = -2

Таким образом, точки графика функции f(x)=x^3+3x^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс, это x = 0 и x = -2.

2) Для функции f(x)=x^3-5x^2, процесс будет аналогичным. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 10x

Приравняем производную к нулю и найдем точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс: 3x^2 - 10x = 0 x(3x - 10) = 0 x = 0 и x = 10/3

Таким образом, точки графика функции f(x)=x^3-5x^2, в которых касательная параллельна оси абсцисс, это x = 0 и x = 10/3.