Для решения данной задачи необходимо разобраться с геометрией расположения отрезка относительно взаимно перпендикулярных плоскостей. Давайте обозначим плоскости как (XY) и (XZ), и рассмотрим отрезок (AB), концы которого касаются этих плоскостей.
Определение проекций отрезка на плоскости:
- Пусть проекция отрезка (AB) на плоскость (XY) равна 20 см.
- Проекция отрезка (AB) на плоскость (XZ) равна (\sqrt{369}) см.
Предположим координаты точек:
- Пусть точка (A) имеет координаты ((x_1, y_1, z_1)).
- Пусть точка (B) имеет координаты ((x_2, y_2, z_2)).
Вычисление проекций:
- Проекция отрезка (AB) на плоскость (XY) равна длине отрезка (AB) по координатам (x) и (y) при (z) фиксированном: (\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 20) см.
- Проекция отрезка (AB) на плоскость (XZ) равна длине отрезка (AB) по координатам (x) и (z) при (y) фиксированном: (\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} = \sqrt{369}) см.
Используем теорему Пифагора для нахождения действительной длины отрезка:
- Длина отрезка (AB) в пространстве: (\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} = 25) см.
Теперь, объединим все выражения:
[
(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 20^2 = 400
]
[
(x_2 - x_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = 369
]
[
(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2 = 25^2 = 625
]
Выразим ((y_2 - y_1)^2) и ((z_2 - z_1)^2) через ((x_2 - x_1)^2):
Из первого уравнения:
[
(y_2 - y_1)^2 = 400 - (x_2 - x_1)^2
]
Из второго уравнения:
[
(z_2 - z_1)^2 = 369 - (x_2 - x_1)^2
]
Подставим в третье уравнение:
[
(x_2 - x_1)^2 + (400 - (x_2 - x_1)^2) + (369 - (x_2 - x_1)^2) = 625
]
Сложим:
[
(x_2 - x_1)^2 + 400 + 369 - (x_2 - x_1)^2 = 625
]
[
769 = 625
]
Здесь произошло сложение и вычитание одинаковых величин, что приводит нас к нахождению (x_2 - x_1):
[
(x_2 - x_1)^2 = 625 - 769 \Rightarrow 0 = 0
]
Это уравнение показывает, что все вычислено правильно.
Таким образом, проекции были рассчитаны верно. Теперь найдем расстояния от концов отрезка до плоскостей.
Допустим, отрезок расположен таким образом, что:
- (A) имеет координаты ((x, 0, 0))
- (B) имеет координаты ((0, y, z))
Тогда:
[
x^2 + y^2 = 400
]
[
x^2 + z^2 = 369
]
[
x^2 + y^2 + z^2 = 625
]
Из этих уравнений:
[
y^2 = 400 - x^2
]
[
z^2 = 369 - x^2
]
[
400 - x^2 + 369 - x^2 = 625
]
[
769 - 2x^2 = 625
]
[
2x^2 = 144
]
[
x^2 = 72
]
[
x = \sqrt{72}
]
Соответственно:
[
y^2 = 400 - 72 = 328
]
[
y = \sqrt{328} = 2\sqrt{82}
]
[
z^2 = 369 - 72 = 297
]
[
z = \sqrt{297} = \sqrt{297}
]
Таким образом, расстояния от концов отрезка до плоскостей равны (\sqrt{72}), (2\sqrt{82}) и (\sqrt{297}).