14 cos^2x+sin2x=6 Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [0;3p/2]
14 cos^2x+sin2x=6 Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [0;3p/2]
Рассмотрим уравнение (14 \cos^2{x} + \sin{2x} = 6). Преобразуем его, используя тригонометрические тождества:
Во-первых, вспомним, что (\sin{2x} = 2 \sin{x} \cos{x}).
Во-вторых, используем основное тригонометрическое тождество: (\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}).
Подставим (\sin{2x}) и (\cos^2{x}) в исходное уравнение:
[ 14 (1 - \sin^2{x}) + 2 \sin{x} \cos{x} = 6 ]
Раскроем скобки:
[ 14 - 14 \sin^2{x} + 2 \sin{x} \cos{x} = 6 ]
Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
[ 14 - 14 \sin^2{x} + 2 \sin{x} \cos{x} - 6 = 0 ]
Упростим:
[ 8 - 14 \sin^2{x} + 2 \sin{x} \cos{x} = 0 ]
Теперь выразим (\cos{x}) через (\sin{x}):
[ \cos{x} = \sqrt{1 - \sin^2{x}} ]
Подставим это значение в уравнение:
[ 8 - 14 \sin^2{x} + 2 \sin{x} \sqrt{1 - \sin^2{x}} = 0 ]
Обозначим (\sin{x} = t). Тогда уравнение примет вид:
[ 8 - 14 t^2 + 2 t \sqrt{1 - t^2} = 0 ]
Рассмотрим отдельно два случая: ( t = 0 ) и ( t \neq 0 ).
[ 8 = 0 ] (это неверно, значит ( t \neq 0 )).
Перенесем 8 и 14 ( t^2 ) в правую часть уравнения:
[ 2 t \sqrt{1 - t^2} = 14 t^2 - 8 ]
Разделим обе стороны на 2:
[ t \sqrt{1 - t^2} = 7 t^2 - 4 ]
Если ( t \neq 0 ), то можем разделить обе стороны на ( t ):
[ \sqrt{1 - t^2} = 7 t - \frac{4}{t} ]
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
[ 1 - t^2 = 49 t^2 - \frac{56}{t} + \frac{16}{t^2} ]
Приведем уравнение к общему знаменателю и упростим:
[ t^2 - 1 = 49 t^4 - 56 t + 16 ]
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно ( t ). Это достаточно сложно, поэтому, чтобы найти корни, рассмотрим возможные варианты численных значений.
В данном случае, чтобы упрощение было корректно, проще воспользоваться численными методами или графическим решением.
Так как уравнение стало сложным для аналитического решения, проще вернуться к исходному уравнению и воспользоваться графическим методом. Построим графики функций ( y_1 = 14 \cos^2{x} + \sin{2x} ) и ( y_2 = 6 ) и найдем их пересечения в интервале ( [0, \frac{3\pi}{2}] ).
Графически определяем точки пересечения, и находим, что:
[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} ]
Проверим эти значения в исходном уравнении:
Для ( x = \frac{\pi}{6} ):
[ 14 \cos^2{\frac{\pi}{6}} + \sin{\frac{\pi}{3}} = 14 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \cdot \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 10.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 6 ]
Для ( x = \frac{5\pi}{6} ):
[ 14 \cos^2{\frac{5\pi}{6}} + \sin{\frac{5\pi}{3}} = 14 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 10.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 6 ]
Таким образом, аналитическое решение требует уточнения или численных методов для точного поиска корней.
Для начала преобразуем уравнение: 14 cos^2x + 2sinxcosx = 6 Перепишем sin2x как 2sinxcosx: 14 cos^2x + sin2x = 6 14 cos^2x + 2sinxcosx = 6
Теперь приведем уравнение к квадратному виду: 14(1 - sin^2x) + 2sinxcosx = 6 14 - 14sin^2x + 2sinxcosx = 6 14 - 14sin^2x + sin2x = 6 14 - 14sin^2x + 2sinx = 6 14sin^2x - 2sinx + 8 = 0
Теперь решим уравнение: 14sin^2x - 2sinx + 8 = 0 Решим это уравнение как квадратное уравнение относительно sinx: D = 2^2 - 4 14 8 = 4 - 448 = -444
Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет корней на промежутке [0;3π/2].
