14 cos^2x+sin2x=6 Ука­жи­те корни дан­но­го урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку $0;3p/2$

Рассмотрим уравнение $14{\cos }^{2}x+\sin 2x=6$. Преобразуем его, используя тригонометрические тождества:

Во-первых, вспомним, что $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Во-вторых, используем основное тригонометрическое тождество: ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$.

Подставим $\sin 2x$ и ${\cos }^{2}x$ в исходное уравнение:

$14(1-{\sin }^{2}x)+2\sin x\cos x=6$

Раскроем скобки:

$14-14{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=6$

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

$14-14{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-6=0$

Упростим:

$8-14{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=0$

Теперь выразим $\cos x$ через $\sin x$:

$\cos x=\sqrt{1-{\sin }^{2}x}$

Подставим это значение в уравнение:

$8-14{\sin }^{2}x+2\sin x\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=0$

Обозначим $\sin x=t$. Тогда уравнение примет вид:

$8-14t^2+2t\sqrt{1-t^2}=0$

Рассмотрим отдельно два случая: $t=0$ и $t\ne 0$.

1. Случай $t=0$:

$8=0$ $этоневерно,значит(t\ne 0$).

1. Случай $t\ne 0$:

Перенесем 8 и 14 $t^2$ в правую часть уравнения:

$2t\sqrt{1-t^2}=14t^2-8$

Разделим обе стороны на 2:

$t\sqrt{1-t^2}=7t^2-4$

Если $t\ne 0$, то можем разделить обе стороны на $t$:

$\sqrt{1-t^2}=7t-\frac{4}{t}$

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$1-t^2=49t^2-\frac{56}{t}+\frac{16}{t^2}$

Приведем уравнение к общему знаменателю и упростим:

$t^2-1=49t^4-56t+16$

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $t$. Это достаточно сложно, поэтому, чтобы найти корни, рассмотрим возможные варианты численных значений.

В данном случае, чтобы упрощение было корректно, проще воспользоваться численными методами или графическим решением.

Так как уравнение стало сложным для аналитического решения, проще вернуться к исходному уравнению и воспользоваться графическим методом. Построим графики функций $y_1=14{\cos }^{2}x+\sin 2x$ и $y_2=6$ и найдем их пересечения в интервале $[0,\frac{3\pi }{2}]$.

Графически определяем точки пересечения, и находим, что:

$x=\frac{\pi }{6}\text{и}x=\frac{5\pi }{6}$

Проверим эти значения в исходном уравнении:

Для $x=\frac{\pi }{6}$:

$14{\cos }^2\frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{3}=14{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}=14\cdot \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}=10.5+\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 6$

Для $x=\frac{5\pi }{6}$:

$14{\cos }^2\frac{5\pi }{6}+\sin \frac{5\pi }{3}=14{(-\frac{\sqrt{3}}{2})}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}=10.5+\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 6$

Таким образом, аналитическое решение требует уточнения или численных методов для точного поиска корней.

Для начала преобразуем уравнение: 14 cos^2x + 2sinxcosx = 6 Перепишем sin2x как 2sinxcosx: 14 cos^2x + sin2x = 6 14 cos^2x + 2sinxcosx = 6

Теперь приведем уравнение к квадратному виду: 14$1-si{n}^{2}x$ + 2sinxcosx = 6 14 - 14sin^2x + 2sinxcosx = 6 14 - 14sin^2x + sin2x = 6 14 - 14sin^2x + 2sinx = 6 14sin^2x - 2sinx + 8 = 0

Теперь решим уравнение: 14sin^2x - 2sinx + 8 = 0 Решим это уравнение как квадратное уравнение относительно sinx: D = 2^2 - 4 14 8 = 4 - 448 = -444

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет корней на промежутке $0;3\pi /2$.