1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 80 см, а сторона АВ больше ВС на 5 см....

Давайте разберем каждый из вопросов по очереди, чтобы понять, как решить их:

1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 80 см, а сторона АВ больше ВС на 5 см.

Пусть сторона АВ = a см, а сторона ВС = b см. Из условия задачи известно, что $a=b+5$.

Периметр параллелограмма равен $2a+2b=80$ см. Подставим $a=b+5$ в уравнение для периметра: $2(b+5)+2b=80$ $2b+10+2b=80$ $4b+10=80$ $4b=70$ $b=17.5$

Теперь найдем $a$: $a=b+5=17.5+5=22.5$

Итак, стороны параллелограмма: $a=22.5$ см и $b=17.5$ см.

2. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А больше угла В в 4 раза.

Обозначим угол В как $x$. Тогда угол А будет равен $4x$.

Известно, что сумма смежных углов параллелограмма равна 180º: $x+4x=180º$ $5x=180º$ $x=36º$

Следовательно, угол А равен: $4x=4\times 36º=144º$

Таким образом, углы параллелограмма АВСД равны: угол А = 144º, угол В = 36º.

3. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 65º.

В равнобедренной трапеции два угла при основании равны, а два угла при другой основе также равны. Сумма углов одной пары, находящихся по одну сторону от основания, равна 180º.

Пусть один из углов равен 65º, тогда смежный с ним угол будет равен: $180º-65º=115º$

Таким образом, углы равнобедренной трапеции равны: два угла по 65º и два угла по 115º.

4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если СД=15см.

В прямоугольнике все стороны попарно равны, а диагонали равны между собой и делятся пополам. Если СД = 15 см, то АВ = 15 см.

Пусть АВ = 15 см, тогда диагонали прямоугольника можно найти с помощью теоремы Пифагора: $d=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}$

Но нам не хватает информации о длине другой стороны. Предположим, что другая сторона равна х см.

Диагонали можно выразить так: $d=\sqrt{{15}^2+x^2}$ So it remains to find the value of $x$ if it's given.

5. В четырехугольнике АВСД: АВ=СД, Докажите, что АВСД – параллелограмм.

Чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, достаточно доказать, что противоположные стороны равны.

Из условия задачи: $АВ=СД$

Также предположим, что: $АД=ВС$

Теперь у нас есть два равенства противоположных сторон, что достаточно для утверждения, что АВСД - параллелограмм.

6. В ромбе АВСД угол А равен . Диагонали ромба пересекаются в точке О. Найти углы треугольника АОВ.

Если угол А в ромбе равен $\theta$, то диагонали ромба делят его на четыре равных треугольника.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы на две равные части.

Таким образом, угол AOB будет равен половине угла А: $\mathrm{\angle }AOB=\frac{\theta }{2}$

Если $\theta$ равен, например, 60º, то: $\mathrm{\angle }AOB=\frac{60º}{2}=30º$

Итак, углы треугольника AOB равны: $30º,150º,30º$.

1. Стороны параллелограмма АВСД равны 25 см и 30 см.
2. Углы параллелограмма АВСД равны 20º и 80º.
3. Углы равнобедренной трапеции равны 65º и 115º.
4. Диагонали прямоугольника АВСД равны 20 см и 15 см.
5. Параллелограмм АВСД, так как его противоположные стороны равны и параллельны.
6. Углы треугольника АОВ равны 90º, 45º и 45º.

1. Пусть сторона ВС равна х см, тогда сторона АВ равна $х+5$ см. Так как стороны параллелограмма равны, то сторона АВ также равна х см. Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон, то есть 2$х+5$ + 2х = 80. Решив это уравнение, найдем, что х = 25. Таким образом, стороны параллелограмма АВСД равны 30 см и 25 см.

2. Пусть угол В равен х градусов, тогда угол А равен 4х градусов. В параллелограмме сумма углов противолежащих вершин равна 180 градусов, следовательно, угол В равен 60 градусов, а угол А равен 240 градусов.

3. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, поэтому другой угол также равен 65º.

4. Пусть диагонали прямоугольника равны АС = х см и ВД = у см. Так как диагонали прямоугольника равны, то АС = ВД = 15 см. По теореме Пифагора, диагонали прямоугольника равны: √${х}^2+{у}^2$ = 15. Решив это уравнение, найдем значения диагоналей.

5. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Из условия видно, что стороны АВ и СД равны, следовательно, четырехугольник АВСД является параллелограммом.

6. Углы треугольника АОВ равны углам ромба, так как диагонали ромба делят его углы пополам. Так как угол А ромба равен 90º, то углы треугольника АОВ равны 45º.