1. Даны комплексные числа z1=1+i и z2=-6+4i Найдите: а) сумму z=z1+z2; б) разность z=z1-z2 и укажите...

Давайте решим этот набор задач с комплексными числами.

1. Даны комплексные числа:
   $z_1=1+i$
   $z_2=-6+4i$

а) Сумма $z=z_1+z_2$:

Чтобы найти сумму двух комплексных чисел, нужно сложить их действительные части и мнимые части отдельно:

$z=(1+i)+(-6+4i)$

$z=(1-6)+(i+4i)$

$z=-5+5i$

б) Разность $z=z_1-z_2$ и противоположное ему число:

Чтобы найти разность, вычитаем действительные и мнимые части отдельно:

$z=(1+i)-(-6+4i)$

$z=(1+6)+(i-4i)$

$z=7-3i$

Противоположное этому числу комплексное число — это число, у которого противоположные знаки у действительной и мнимой частей:

Противоположное число: $-7+3i$

в) Произведение $z=z_1\times z_2$:

Для нахождения произведения комплексных чисел, используем дистрибутивное свойство умножения и правило $i^2=-1$:

$z=(1+i)\times (-6+4i)$

$z=1\times (-6)+1\times 4i+i\times (-6)+i\times 4i$

$z=-6+4i-6i+4i^2$

$z=-6+4i-6i+4(-1)$

$z=-6+4i-6i-4$

$z=-10-2i$

г) Частное $z=\frac{z_2}{z_1}$:

Для нахождения частного комплексных чисел, умножаем числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное к знаменателю:

$z=\frac{-6+4i}{1+i}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к $1+i$, то есть на $1-i$:

$z=\frac{(-6+4i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

Сначала найдём знаменатель:

$(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$

Теперь числитель:

$(-6+4i)(1-i)=-6\times 1+(-6)\times (-i)+4i\times 1+4i\times (-i)$

$=-6+6i+4i-4i^2$

$=-6+10i-4(-1)$

$=-6+10i+4$

$=-2+10i$

Теперь поделим числитель на знаменатель:

$z=\frac{-2+10i}{2}$

Разделим каждую часть:

$z=-1+5i$

Таким образом, мы получили все решения:
а) Сумма: $z=-5+5i$
б) Разность: $z=7-3i$, противоположное: $-7+3i$
в) Произведение: $z=-10-2i$
г) Частное: $z=-1+5i$

а) Сумма комплексных чисел z1 и z2 будет равна z = $1+i$ + $-6+4i$ = 1 - 6 + i + 4i = -5 + 5i.

б) Разность комплексных чисел z1 и z2 будет равна z = $1+i$ - $-6+4i$ = 1 - 6 + i - 4i = -5 - 3i. Противоположным числом к данному будет -z = 5 + 3i.

в) Произведение комплексных чисел z1 и z2 будет равно z = $1+i$*$-6+4i$ = -6 + 4i - 6i - 4 = -10 - 2i.

г) Частное комплексных чисел z2 и z1 будет равно z = $-6+4i$/$1+i$. Для нахождения данного значения умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя: z = $(-6+4i$$1-i$)/$(1+i$$1-i$) = $-6+4i-6i-4$/$1+1$ = $-10-2i$/2 = -5-i.