1) Даны два шара с радиусами 5 и 15. Во сколько раз объем первого шара меньше объема второго? 2) Площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго в 16 раз. Во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара? 3) Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту(конус вписан в цилиндр) Вычислить объем конуса, если объем цилиндра равен 144.
Для решения каждого из этих вопросов нам понадобятся формулы для объема и площади поверхности шара, а также формула для объема конуса.
1) Сравнение объемов двух шаров.
Формула объема шара:
[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 ]
Объем первого шара с радиусом ( r_1 = 5 ):
[ V_1 = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 125 = \frac{500}{3} \pi ]
Объем второго шара с радиусом ( r_2 = 15 ):
[ V_2 = \frac{4}{3} \pi (15)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 3375 = 4500 \pi ]
Теперь найдем, во сколько раз объем первого шара меньше объема второго:
[ \text{Отношение объемов} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{500}{3} \pi}{4500 \pi} = \frac{500}{3 \times 4500} = \frac{500}{13500} = \frac{1}{27} ]
Следовательно, объем первого шара меньше объема второго в 27 раз.
2) Отношение объемов при заданном отношении площадей поверхности.
Формула площади поверхности шара:
[ S = 4 \pi r^2 ]
Пусть площадь поверхности первого шара ( S_1 ) больше площади поверхности второго шара ( S_2 ) в 16 раз:
[ S_1 = 16 \times S_2 ]
Имеем:
[ 4 \pi r_1^2 = 16 \times 4 \pi r_2^2 ]
[ r_1^2 = 16 \times r_2^2 ]
[ r_1 = 4 \times r_2 ]
Теперь найдем, во сколько раз объем первого шара больше объема второго:
Формула для отношения объемов:
[ \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = (4)^3 = 64 ]
Следовательно, объем первого шара больше объема второго в 64 раза.
3) Вычисление объема конуса, вписанного в цилиндр.
Формула объема цилиндра:
[ V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h ]
Формула объема конуса:
[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
Объем цилиндра равен 144, следовательно:
[ \pi r^2 h = 144 ]
Объем конуса, вписанного в цилиндр:
[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 144 = 48 ]
Таким образом, объем конуса равен 48.
1) Объем шара вычисляется по формуле V = (4/3)πr^3, где r - радиус. Для первого шара: V1 = (4/3)π5^3 = 523.6 Для второго шара: V2 = (4/3)π15^3 = 14137.2 Отношение объема первого шара ко второму: 523.6 / 14137.2 ≈ 0.037 Поэтому объем первого шара примерно в 0.037 раз меньше объема второго.
2) Площадь поверхности шара вычисляется по формуле S = 4πr^2. По условию: S1 = 16S2 Для первого шара: 4π5^2 = 100π Для второго шара: 4π15^2 = 900π Отношение площади поверхности первого шара ко второму: 100π / 900π = 1/9 Поэтому объем первого шара примерно в 9 раз больше объема второго.
3) Пусть V_cone - объем конуса, V_cylinder - объем цилиндра. Так как конус вписан в цилиндр, то их объемы связаны следующим образом: V_cone = (1/3)V_cylinder. Из условия задачи V_cylinder = 144. Тогда V_cone = (1/3) * 144 = 48. Ответ: объем конуса равен 48.
1) Объем первого шара меньше объема второго в 27 раз. 2) Объем первого шара больше объема второго в 4 раза. 3) Объем конуса равен 48.
